Глава 2 | математические основы теории

I ДВИЖЕНИЯ ПОДЗЕМНЫХ ВОД

В главе 1 мы отразили основные физические законо­мерности, позволяющие описывать горные породы как водосодержащую и водопроводящую среду.. Однако лю­бая дисциплина инженерной направленности должна от­вечать не только на вопросы — «как?», «почему?», но и на вопрос — «сколько?». Поэтому нам потребуется матема­тическая теория, количественно описывающая движение подземных вод в пространстве и во времени. В основе ее построения лежат некоторые дифференциальные уравне­ния, отражающие протекание изучаемых нами процессов в очень малых объемах («в точке»); эти уравнения гово­рят о том, как связаны малые приращения функции — напора Н(х, у, z, t) по ее аргументам х, у, z, t (декартовы координаты и время) между собой, с самой функцией и с параметрами изучаемой среды. Интегрирование этих уравнений при некоторых дополнительных условиях, за­висящих от конкретной задачи (см. краевые условия в разделе 2.4), т.е. переход от описания процесса «в точке» к картине его во всей изучаемой области дает однозначное решение поставленной задачи в виде функции Н(х, у, z, t): зная значения напоров во всех точках на любые мо­менты времени, мы сумеем определить все элементы фильтрационного потока (скорость фильтрации — со­гласно закону Дарси, гидростатическое давление, расход и т.д.).

ВОПРОС. Почему именно напор подземных вод является основ­ной функцией, количественно описывающей фильтрационные про­цесс?

Однако прежде чем перейти к построению математи­ческих основ теории, мы должны заметить, что все мно­гообразие природных условий фильтрации может подда­ваться последовательной математической интерпретации лишь после его предварительного приведения к некоторо­му ограниченному кругу характерных типовых условий.

1. Гидродинамическая типизация условий движения подземных вод

Начальные шаги в типизации условий движения под­земных вод и, в частности, в типизации водоносных ком­плексов были сделаны нами уже в общей гидрогеологии, когда мы пользовались, например, такими представлени­ями, как водоносный горизонт и водоупор, зона насыще­ния и зона аэрации и т.д. Здесь мы постараемся несколько уточнить эти привычные понятия, предложив для их раз­граничения конкретные гидродинамические критерии, а также введем некоторые новые представления, связанные с гидродинамической типизацией. Все это важно и для того, чтобы мы могли далее однозначно трактовать широ­ко используемые термины.

В пределах нашего курса мы будем рассматривать главным образом зону насыщения, определив ее как зо­ну, в пределах которой повсеместно поровая жидкость образует непрерывную фазу; соответственно здесь имеет место непрерывная передача гидростатического давления во всех точках данной зоны. Обратим внимание на то, что породы зоны насыщения, осооенно в верхней ее части, могут содержать довольно большой объем воздуха (за­щемленного, растворенного и т.п.), однако последний не образует непрерывной фазы, хотя степень водонасыщег- ния может иногда составлять лишь 90-95%. Наоборот, в зоне аэрации (по крайней мере, на отдельных ее участ­ках) воздух, будучи связанным с атмосферой, образует самостоятельную фазу, и характер передачи гидростати­ческого давления во внутрипоровой жидкости определя­ется степенью водонасыщения пород.

Между зонами насыщения и аэрации располагается капиллярная кайма (см. раздел 1.2.2), где жидкость также образует непрерывную фазу, в которой, однако, гидро­статическое давление меньше атмосферного. В дальней­шем мы будем пренебрегать латеральным потоком в пре­делах капиллярной каймы, исходя из предположения о малой ее мощности в сравнении с мощностью нижележа­щего водоносного горизонта: в противном случае постро-

* Общая характеристика этих условий дана в разделе 1.6.

ение теории движения грунтовых вод потребовало бы заметного усложнения, без существенного — в подавля­ющем большинстве случаев — выигрыша в точности. Важно также заметить, что капиллярная кайма не фикси­руется нашими основными измерительными устройства­ми - открытыми наблюдательными скважинами (пьезо­метрами) .

ЗАДАЧА. Пояснить последнее утверждение (см. также раздел 1.2.2).

Конечно, существует определенный круг задач, в которых пре­небрежение ролью капиллярной каймы недопустимо. В таких случа­ях она учитывается чаще всего косвенно некоторыми эффективными (расчетными) параметрами. Так, например, поступают при изуче­нии динамики водоотдачи безнапорных пластов (см. раздел 5.3). Непосредственный же учет параметров капиллярной каймы осуще­ствляется в сравнительно редких случаях, в первую очередь, когда изучают процессы в зоне аэрации (см. раздел 6.8) при неглубоком (десятки сантиметров — первые метры) залегании уровня грунтовых вод.

Таким образом, верхней границей зоны насыщения в принятом приближении служит свободная поверхность уровней верхнего (грунтового) водоносного горизонта — депрессионная поверхность, на которой гидростатическое давление (отсчитываемое от атмосферного) равно нулю. Критериями типизации в данном случае послужили, сле­довательно, характер водонасыщения и гидростатическое давление.

В пределах зоны насыщения выделяются водонос­ные горизонты или комплексы, которые отличаются от контактирующих с ними водоупорных комплексов суще­ственно более высокой проницаемостью (таким образом, критерием типизации здесь служит соотношение прони­цаемостей) ; в пределах водоносных горизонтов выделя­ются водоносные пласты .

ПРИМЕР. На рис. 2.1 дважды показан один и тот же гидрогео­логический разрез, который в случае «а» вскрывается штреком, а в случае «б» — карьером. Интуитивно понятно, что при заданных коэффициентах фильтрации слой песчаных глин при оценке прито­ков в карьер может быть принят за водоупор, в то время как анало­гичная предпосылка при расчете притоков в штрек сделает саму постановку задачи бессмысленной.

Из примера понятно, что представления о водоносном пласте и водоупоре носят относительный характер и оп­ределяются не только природными условиями, но и по­становкой конкретной инженерной задачи. Поэтому для большей точности мы будем далее пользоваться двумя понятиями:

а) водоупор, водоупорный пласт (абсолютный водо­упор) — для обозначения комплекса пород, движением и запасами воды в пределах которого при решении данной задачи можно полностью пренебречь;

б) относительный водоупор, полупроницаемый пласт — для обозначения комплекса сравнительно слабопрони­цаемых пород, где можно пренебречь расходом воды в направлении, совпада- а

ющем с основным на- .... , ■ правлением фильтра- 7.4-^

ции в смежном водо- -x>v::

поп 1

московский 2

ДИНАМИКА ПОДЗЕМНЫХ 4

вод 4

О, = о_с-G„ =(Д„ — Д₀)(1 -n)-z=y,-z, 44

_/=^^а«.._с._й, ш 85

шшшш 145

^(4^)⁺f,(^r'5)^+£=°- 176

¹±шл ' 280

ДШш§ 443

, £ -7-Т7 U п ТГГГГГП ТЛТТТТ-ГТТГТГТТ

относительно слабо­проницаемые породы _$ или непосредственно из них в водоносный горизонт могут посту­пать значительные

объемы воды.

По режиму движе- ~г7гп ттг/гтг/ Г7/ / ггтт7~гт ния водоносные пла- ЕПЗ¹ EEk S7TA * гж~]* ЕЭ*

сты (потоки) делятся . , _л „

.▼о uannnuup и Йотио ^Рис- 2.1. Схема слоистой водоносной на напорные и оезна- _толщ_и> вскрытой штреком (а) и

порные. В первом слу- карьером (6):

Чае Верхней границей 1-пески (к-10 м/сут.); 2-песчаные глины

Пласта (потока) ЯВЛЯ- (Ь“0,01 м/сут.); 3 - глины (к—10 м/сут.);

4 - штрек; 5 - депрессионная кривая

Рис. 2.2. Схема сло­истой водоносной толщи, вскрытой скважинами различ­ной глубины

-7 / / / / / 7 Г~Г Г-Г 7~7~Г7 / / / Г/ / / /

ется контакт с относительным водоупором, на котором гидростатическое давление больше атмосферного (пьезо­метрическая поверхность расположена выше этого кон­такта) ; во втором случае верхней границей горизонта слу­жит депрессионная (свободная) поверхность, на которой гидростатическое давление равно атмосферному (р = 0).

ПРИМЕР. На рис. 2.2 водоносные пески перекрываются слабо­проницаемыми суглинками. При проходке скв. 1 по суглинкам она была практически сухой, а после вскрытия песков уровень в ней быстро установился на отметке 0 (главным образом, за счет воды из песков). Следовательно, с точки зрения данного выше определения, песчаный слой является напорным водоносным горизонтом, водо­упорную кровлю которого образуют суглинки. Обратимся, однако, к пройденной рядом скв. 2. По окончании бурения она была практиче­ски сухой, но постепенно в ней появилась вода (за счет фильтрации из суглинка), которая через несколько суток установилась на той же отметке 0. Итак, если судить по скв. 2, суглинки и пески образуют единый безнапорный пласт двухслойного строения.

Из примера видно, что данный выше критерий разгра­ничения напорных и безнапорных пластов (потоков) ока­зывается на поверку уязвимым, — если речь идет о про­цессах, протекающих во времени. Дополнительным кри­терием типизации в этом смысле является характер емко­стных свойств водоносного пласта; если основные запасы воды, откачиваемые при рассмотрении той или иной кон­кретной инженерной задачи, определяются гравитацион­ной емкостью (т.е. велико относительное значение воды, освобождаемой из пор в зоне понижения поверхности уровня), то мы будем говорить о безнапорной водоносной системе; если же превалирующую роль играет упругая емкость, то водоносная система будет определяться как напорная.

По характеру рассредоточенного площадного пита­ния водоносные пласты (фильтрационные потоки) под­разделяются на:

1 изолированные (не получающие дополнительно­го площадного питания);

питающиеся за счет площадной инфильтрации;

характеризующиеся площадным перетеканием через относительные водоупоры (через разделяющие полупроницаемые пласты).

Сказанное позволяет в первом приближении наметить типовые — с точки зрения напорного режима потока и его площадного питания — гидродинамические модели (рас­четные схемы), к которым может быть сведена реальная гидрогеологическая обстановка:

|~Т~1 изолированный напорный пласт, т.е. пласт, под­стилаемый и перекрываемый абсолютными водоупорами, причем гравитационная емкость в нем вообще не прояв­ляется;

безнапорный пласт, т.е. грунтовый водоносный

горизонт, подстилаемый водоупором и ограниченный сверху свободной (депрессионной) поверхностью, в ко­тором проявляется преимущественно гравитационная ем­кость и имеет место дополнительное площадное питание за счет инфильтрации;

~з] водоносный пласт, гидравлически связанный с соседним водоносным пластом за счет перетекания через относительный водоупор (модель пласта с перетеканием).

Каждая из этих моделей может подразделяться далее по характеру изменчивости фильтрационных свойств (фильтрационного строения) пласта в плане и в разрезе на изотропные и анизотропные, однородные и неоднород­ные; при этом среди профильно-неоднородных пластов особо выделяются пласты упорядоченного (слоистого) строения.

Мы привели здесь пока самую простую типизацию гидродинамических моделей, с очевидностью вытекаю­щую из изложенных общих представлений; последующая детализация типовых моделей будет нами разворачивать­ся на фоне тех или иных допущений, связанных с выводом основных дифференциальных уравнений.

В пределах каждой из упомянутых гидродинамиче­ских моделей важное значение имеет их дальнейшее под­разделение по структуре фильтрационных потоков, ко­торая определяется конфигурацией и взаимным располо­жением траекторий движения частиц жидкости — линий тока¹. По пространственной структуре будем подразде­лять потоки на одно-, двух - и трехмерные. В первом случае линии тока являются прямыми линиями, во втором — плоскими кривыми, в третьем — пространственными кривыми.

На рис. 2.3,а (напорное движение между двумя парал­лельными реками) все линии тока прямолинейны и парал­лельны друг другу. В таком плоскопараллельном потоке его характеристики для всех точек фиксированного попе­речного сечения остаются одинаковыми, т.е. для полного описания движения достаточно одной пространственной координаты: Н - f(x, t). На рис. 2.3,6 (движение к сква­жине в напорном пласте) все линии тока направлены по радиусам, сходящимся к одному центру. В таком плоско­радиальном потоке его характеристики меняются лишь по мере удаления г от оси симметрии, и для описания движения также достаточно одной пространственной ко­ординаты: Н-/(г, 0.

На рис. 2.4,а мы имеем дело сдвижением, двухмерным в плане и одномерным в разрезе — плановая двухмерная фильтрация: Я = f(x, у, t); на рис. 2.4,6 — обратная картина, относящаяся к профильной двухмерной филь­трации: H-f(х, z, t).

6Г

Для лучшего понимания структуры фильтрационных потоков обратимся к дифференциально-векторной форме закона Дарси (1.56). Вектор-градиент grad# в каждой точке (х^ z_Q) направлен по нормали к поверхности H(x,y,z) = const, проходящей через эту точку. Кроме того, согласно (1.56), его направление совпадает с вектором скорости фильтрации v, ориентированным по касательным к линии тока. Следовательно, линии тока перпендикулярны к повер­хностям равных напоров.

1^Ъ''Г~Г~ГТ T^TTVf^'V-TTTTTT^'^Z

Рис. 2.3. Схемы одномерной фильтрации: а - плоскопараллельной; б - плоскорадиальной

Рис. 2.4. Схемы двухмерной фильтрации: а - плановой; б - профильной

Пусть траектории движения некоторой совокупности частиц жидкости лежат в пределах одной плоскости (ли­нии тока являются плоскими кривыми), пересечение ко­торой с поверхностями равных напоров дает линии рав­ных напоров. Совокупность упомянутых линий тока 1 и линий равных напоров 2 образует взаимоортогональ- ную сетку движения, один из элементов которой изо­бражен на рис. 2.5. Важнейшим свойством сетки движения является ее однозначность: через каждую точку потока проходят одна линия тока и одна линия равных напо­ров.

Для плоскопараллельных потоков сетка движения об­разована взаимно перпендикулярными прямыми, а для плоскорадиальных — радиусами, выходящими из центра симметрии, и окружностями. Конечно, наделе все движе­ния трехмерны Н -f(x, у, z, 0, так что их представление через одно- и двухмерный поток всегда является идеали­зацией, допустимость которой определяется постановкой конкретной инженерной задачи.

То же можно сказать и о другой идеализации, связан­ной с типизацией фильт­рационных потоков по изменчивости их харак­теристик (напоров, ско­ростей) во времени: хотя все реальные потоки яв­ляются неустановивши- мися, нестационарны­ми (напор меняется во времени), в конкретных ситуацих допустимо пре­небречь этими изменени­ями и исследовать задачу в рамках модели устано­вившегося,стационарно­го потока: характеристи­ки потока неизменны во

времени, т.е. н**/(х, У, z). ^^ис- 2-5. Элементы сетки движе­ния:

1 - линии тока; 2 - линии равных напоров

Заканчивая на этом рассмотрение простейших эле­ментов гидродинамической типизации, заметим, что пока мы ничего не сказали о типизации границ фильтрацион­ных потоков и условий на них; этому вопросу будет по­священ раздел 2.4.