2. Аналитическое исследование нестационарных фильтрационных процессов методами интегральных преобразований

Использованные в разделе 4.1 приемы для аналитиче­ского решения нестационарных задач носили весьма час­тный характер. Более общий подход к решению уравне­ний нестационарной фильтрации дают методы, основан­ные на их интегральных преобразованиях. В результате вместо исходного дифференциального уравнения получа­ют его интегральный аналог — новое уравнение, имею­щее, однако, меньшее число независимых переменных — за Счет удаления той переменной, по которой велось ин­тегрирование. Чаще всего в качестве такой переменной выступает время t, а в качестве интегральных преобразо­ваний — преобразования Лапласа и Лапласа-Карсона, широко используемые в операционном исчислении [16]. Поэтому данный метод решения мы будем именовать так­же операционным.

Пусть F(x_p t) — некоторая достаточно гладкая фун­кция пространственных координат jc- и времени. Введем преобразование Лапласа-Карсона [16]

Ц №,/)] =Т^{1 F(X}ifi ^e~^{t/,p dt} = > ,л ЛП\

p o (4.42)

где исходная функция F(x_itt) называется оригиналом, а получаемая после преобразования функция Т(х) — изображением исходной функции F по Лапласу-Карсо­ну; t_p — некоторая постоянная величина, имеющая раз­мерность времени и называемая параметром преобразо­вания. Таким образом, это преобразование ставит во вза­имно однозначное соответствие две функции: F(x_t, t) и Т( Xj), причем вторая от времени уже не зависит (можно говорить о том, что V (х) — есть некоторое специальное осреднение функции F(x_it f) во времени). Зная функцию Т(х), можно, используя обратное преобразование, найти исходную функцию F(x_if t). Для облегчения этой опера­ции меются специальные таблицы обращения [16].

Отметим некоторые свойства преобразования Ly (~Г[ Lj(Fj + F₂) ■ L₂(Fj) + Lj(F₂) = T_l +T₂~ изображение суммыравно сумме изображений;

[~2 j Lj(a) = а(а = const) — изображение от постоянной равной этой постоянной;

3 Lj{D [F(x_if i) ]} * D{L_X [F(_Xi, t) 1} * DT{x_t) (здесь D — обозначение любого линейного оператора, содержащего производ­ные от функции F только по пространственным координатам);

L_x [F’(x_it 0 ] = (J/tjTixJ - F(x_t, t) 1₁. о — формула для

изображения производной.

Первые три свойства очевидны, последнее — легко доказывается интегрированием в (4.42) по частям.

Перейдем к использованию преобразования Лапласа- Карсона для решения задач нестационарной фильтрации. Исходные уравнения типа (2.22), (2.33) и другие можно, введя функцию понижения напора S(х, у, 0, переписать в следующем обобщенном виде:

4? “ЛЮ- (4.43)

где линейный оператор D(S) не содержит временных про­изводных (линейность здесь предполагает независимость коэффициентов при производных от искомой функции

S).

Применим к уравнению (4.43) преобразование Лап­ласа-Карсона (4.42), введя функцию-изображение:

L_x [S(x,y,t)] =_Tf S(x,y,t) e~ ^fp dt = У (x, y).

(4.45)

p о

С учетом свойств преобразования L_x нестационарное уравнение (4.43) перейдет в стационарное:

A

Если исходная поверхность напоров стационарная, то, принимая S(x, у, 0, получим уравнение в изобра­

жениях

(4.46)

S-t_pD@)= О,

в котором сохранились производные лишь по пространст­венным координатам.

Граничные условия для уравнения (4.46) получаются из исходных граничных условий после применения к ним преобразования Лапласа-Карсона. В частности, при по­стоянных во времени граничных условиях они сохраняют свой вид и после перехода к изображениям.

Таким образом, вместо исходной нестационарной краевой задачи для функции-оригинала S решается более простая (стационарная) задача для функции-изображе­ния £ Для перехода от решения в изображениях к исход­ному решению для функции-оригинала используются таблицы обращений для преобразования Лапласа-Карсо­на [16].

В качестве примера найдем решение уже рассмотренной нами (см. раздел 4.1) задачи о скважине с постоянным дебитом в неогра­ниченном напорном пласте. Из исходного уравнения (4.19) получаем уравнение в изображениях:

(4.47)

Граничные условия имеют в изображениях вид

Решение полученного обыкновенного дифференциального урав­нения (уравнение Бесселя), с учетом граничных условий находим так же, как и в разделе 3.2.2.

«сЧ Ос К ['Ур75*7.Т]

(l/VT'gjq [г_с\Т7^1’ (4.49)

где К₀иК_} — функции Бесселя второго рода нулевого и первого по­рядков от мнимого аргумента.

При г/fa t <0,1 можно считать К₁ [ г V I /(а 1_р ] **,

р

«fi/глллг * и формула (4.49) принимает вид

^(^г)-1ЛТ^Ко (/ГГ') ’

(4.50)

р'

От полученного таким образом решения задачи в изображениях с помощью таблиц обращения находим исходное решение - оригинал

для функции S:

г

Ос ( ²⁴

л *

4а t

что совпадает с формулой Тейса (4.28).

Если решение в изображениях не имеет готового (таб­личного) оригинала, то moitt использоваться приближен­ные - численные методы обращения.

Так, в работе [221 предложена следующая приближенная фор­мула обращения:

S(r)=0,9(-S₁₊fy₂-fr₃), _(4J1)

где 3^ S₂ ^и У₃ — значения изображений при параметрах преобразс вания, равных соответственно:

2jiTS(r,t) _ _{0 9} (_{118 +} 5 333 (₂₎03 A) -

- 3,2 K₀ (2,63 A)] ,

где A = r/(2 yfa* t).

Сравнение этого решения с формулой Тейса дает вполне удовлетворительные результаты.

Численные методы обращения имеют большое значе­ние для эффективного использования интегральных пре­образований при моделировании: в этом случае на модели решается стационарное уравнение вида (4.46) (вместо нестационарного), а по найденным значениям функции изображения S(х, у, t_p) численно определяются искомые значения S( х, у, t).

До сих пор мы говорили об использовании интеграль­ного преобразования для получения аналитического или модельного решения той или иной краевой задачи. Одна­ко при исследовании некоторых вопросов фильтрации обратный переход от решения интегрального уравнения- аналога к решению исходного уравнения (от изображения к оригиналу) не является обязательным: искомые величи­ны могут определяться непосредственно из полученного решения в изображениях. Таковы, в частности, обратные задачи, связанные с определением фильтрационных пара­метров (см. гл. 5), в которых значения исходной функции S известны из полевых измерений. В этих случаях необ­ходимо предварительно рассчитать значения функции- изображения 15, используя известные из наблюдений гра­фики функции S(t). Для численного определения изобра­жения, отвечающего интегральному преобразованию Лапласа-Карсона вида (4.44), может использоваться сле­дующая приближенная формула [23]:

1 ⁰⁰ п

S = 7- / S{t) exp (- t/t\ dt = A₀ S(0) + 2 A, S(/_k).

^lp o ^v k —I

(4.53)

Коэффициенты А_к определяют по следующей табли­це.

К	х --- , 1к t	Ак
0		0,091
1	0,335	0,403
2	1,128	0,332
3	2,396	0,138
4	4,167	0,0316
5	6,487	0,0398
6	9,428	0,(3)264
7	13,102	0,(5)836
-8 ■ - .	17,696	0,(6)106

Порядок вычислений изображения следующий: выби­рается значение параметра 1 (величина, имеющая раз­мерность времени), после чего из таблицы находят значе­ния и соответствующие им значения Далее, при известных значениях t и х_к, из соотношения t_K = х_к t_p определяют моменты времени t_K, на которые для вычис­лений по формуле (4.53) берут известные значения фун­кции S(t_K). Подсчет суммы ряда в формуле (4,53) обычно можно ограничить пятью-шестью первыми членами.

Если функция S(t) становится заметно отличной от нуля лишь при t > tj> 0, то вместо формулы (4.53) лучше использовать формулу

У = т* / S(t) e~^t/tP dt - е~^Р § A. S(t, + A t_k),

р о к — 1 (4.53 а)

где Л t_k = t_K — tj. В этом случае по таблице вместо t_K/t_p находим

Расчет изображения по графику функции S(f) занимает не­сколько минут.

Очевидно, что точность вычисления интегралов вида (4.44) в значительной степени связана с выбором параметра t . С одной сто­роны, величина t должна приниматься достаточно малой, т.е. зна­чение множителя exp(-t/t ) не должно быть слишком большим. Это положение определяется тем, что в выражении (4.44) интегрирова­ние по времени должно осуществляться в пределах от 0 до <», в то время как на практике фактические данные об изменении уровней подземных вод могут быть получены только в конечном интервале времени от 0 до t_Q.

С другой стороны, при слишком малых значениях параметра t на величине искомого интеграла может решающим образом отра­зиться влияние начальных стадий формирования понижений уровня подземных вод или дебитов испытуемых скважин, когда погрешно­сти максимальны.

В целом следует считать всегда желательным выполнение требо­вания:

t <— t

р ~ 6 ⁰ * <4.54а)

Если первые наблюдения до момента (_ш|п являются по каким-ли­бо причинам недостоверными, то следует принимать t отвечающим условию

*p^>2W (4.55)

Таким образом, для эффективного использования операционно­го метода должно выполняться условие (_ш5п 0,1 t_Q.

После вычисления опытной функции S искомые параметры пла­ста определяют непосредственно из аналитического решения задачи в изображениях.

Рассмотрим, для примера, задачу об откачке из скважины в изолированном напорном пласте при произвольном дебите Q/0- Изображение для функции Q_c(t) определится формулой

Q_c=j-SQ_c(i)e-^,/,Pdt.

р о (4.56)

2ЛТ

Аналогично (4.50) решение поставленной задачи в изображени­ях дается формулой

(4.57)

илипри^г< 0,1*0,2

ЭД ₌_1 _1п 1,12

где

« Г ' (4.57а)

s(r) _ ^ко(хд

5_C ~K(xr_cy

Для совершенных скважин, работающих в условиях более слож­ных фильтрационных схем, решение (4.57) сохраняет свой вид, но коэффициент^ имеет отличные значения.

На использовании этих результатов мы остановимся в гл. 5. Пока же отметим, что важнейшим достоинством операционного метода является его интегральная приро­да, обеспечивающая свертку и усреднение информации по временной координате. Кроме того, достигается высо­кая степень верификации результирующих зависимостей и, соответственно, способов обработки опытных данных для разнообразных расчетных схем.

ПРИМЕР. Используем операционный метод для интерпретации режимных наблюдений, проведенных в паводковый период по створу пьезометров. Последние оборудованы на нижний слой в безнапорном двухслойном пласте. Створ ориентирован вкрест простирания реки, которая может считаться единственной гидродинамической грани­цей (полуограниченный пласт) и на которой задано условие третьего рода (3.56) (см. рис. 2.14).

Найдем сначала решение задачи в изображениях. Преобразуя исходное уравнение (4.6) по Лапласу-Карсону, получаем

(4.60)

Общее решение этого обыкновенного дифференциального урав­нения с постоянными коэффициентами имеет вид [16 ]

А77 = Cj exp

Так как Л Н ^,=0, тоС₂ = 0. Значение С_} найдем из второго

граничного условия (при х^ш 0), которое в изображениях имеет вид (см. формулу (3.56)):

а (АН) _А#_р-А#_г

(4.62)

дх х—0 AL

где исходные функции-оригиналы АН_р и АН_г представляют собой

изменения уровней на внешней (в реке) и внутренней (в пласте) гра­ницах кольматационного слоя. После элементарных преобразований, исключающих величину А Н_г, окончательно получаем:

Д#= —7-г^Р— ехр

1+Д L^^^V\ Щ;)' (4.63)

Теперь, подсчитывая изображения от замеренных функций АН и АН , можно определить неизвестные параметры а и AL. Так,

(АЪ\

строя график связи In \~лг& для группы пьезометров, мы должны

получить прямую линию, угсш наклона СС которой к оси х дает значе­ние коэффициента уровнепроводности Vfl/ » ctg СС. Затем по отрез­ку Ь, отсекаемому на оси ординат, определяется параметр AL : 6 = ln(l + AL/\at\ Прямолинейность построенного гра­фика, которая должна наблюдаться для любых выбранных значений параметра преобразования является важным диагностическим признаком — свидетельством справедливости принятой расчетной схемы. При малом числе пьезометров (например, два) приходится ориентироваться на другой способ интерпретации. Сначала по отно-

АН_{ ^x2~~^xi шению = ехр ~ определяется коэффициент уровнепро­водности, а затем по известному значению АН для одного из пьезо­метров вычисляется параметр AJL Важный диагностический при­знак в этом случае — постоянство расчетных значений параметров при различных значениях параметра преобразования t.