2. Задача о скважине в пласте с перетеканием

Пусть откачка ведется с постоянным расходом Q_c из нижнего пласта (рис. 3.9). В результате возникновения разницы напоров между горизонтами (первоначальные напоры предполагаются одинаковыми) из верхнего пла­ста происходит перетекание в нижний через разделяющий слабопроницаемый слой. Будем считать, что водообиль- ность верхнего пласта очень велика в сравнении с расхо­дом скважины, так что напоры в нем остаются в процессе откачки практически неизменными. Тогда по ходу откач­ки наступает момент, когда возрастающий расход перете­кания сравнивается с расходом скважины, после чего из­менения напоров прекращаются и наступает стационар­ный режим, который мы здесь и рассмотрим.

Рис. 3.9. Схема напорной фильтрации к скважине в условиях пере­текания

Считая справедливыми предпосылки перетекания (см. раздел 2.3), исходим из уравнения (2.28), которое принимает вид

В²А² Я + (Я°-Я) = О (3.34)

или, с учетом выражения для оператора Лапласа в плоско­радиальном случае (2.11),

(3.35)

Введем понижение напора в нижнем пласта S' — Н° — Н; тогда исходное уравнение имеет вид

dS 1 dS S'

dr² r dr в² ’ (3.36)

т.е. здесь мы имеем дело с обыкновенным дифференци­альным уравнением, известным как уравнение Бесселя.

Его общее решение записывается в следующем виде [16 ]:

S(r)=C_l4₀(r/B)+C₂-K₀(r/B), (3.37)

где I_Q и К₀ — функции Бесселя от мнимого аргумента нулевого порядка (/₀ — первого рода, К₀ — второго рода).

Напомним некоторые свойства этих функций:

1 1₀ (х) -* 00 при Х-*00;

2_ К₀(х)~* оо при х оо;

Л I 12

— К₀(х) ->1п—при х~* оо .примерно для

х< 0,05*0,1

Гг) 1

•—¹ К'(х)-*— — при х -* оо _э примерно для

Л

х< 0,05*0,1.

Для решения нашей краевой задачи используем гра­ничные условия:

*1 -о: "■ ' ^а

|г->оо > dr |г-г_с 2Ж'Т’г_с (3.38)

ЗАДАЧА. Дайте физическое обоснование первому из приведен­ных граничных условий.

Так как при г -* оо IJr/B) -*оо то для выполнения первого граничного условия необходимо потребовать С_{ * 0. Следовательно,

S(r)=C₂-K₀(r/B),

dS ^d l*„(^r/d(r/B) _C₂ d [K^(r/B)]

dr~^c^~^r/B'T~' в ~~b Жт/в) '

Считая радиус скважины г достаточно малым, так что г /В

(f[K_Q{r/B)] _в

< 0,05+0,1, и полагая поэтому —Щ^/в)— |г = г ~ ~~ (см. по­следнее из упомянутых свойств функции Бесселя), получаем из вто­рого граничного условия

_с __ik_

² 2 Jt'T'

Окончательное решение поставленной задачи прини­мает вид

Ос

г_

(3.39)

В

\ /

Для функции К₀{х) имеются подробные таблицы. Для точек, расположенных не слишком далеко от скважи­ны (г/В < 0,05-Ю,1), согласно третьему из упомянутых свойств функций Бесселя

^, е_С| 1 ив

^(>~2яТ^т г ■ (3.40)

ВОПРОС. Чем принципиально по своей физичской постановке рассмотренная задача отличается от случая откачки из изолирован­ного, неограниченного в плане пласта?

ЗАДАЧА. Наблюдательные скважины на нижний пласт (см. рис. 3.9), удаленные на расстояние г_} - 10 м и г₂ * 30 м от центральной, фиксируют на последних этапах откачки постоянные уровни, отве­чающие понижениям Sj * 152 см и S₂ “ 105 см. Наблюдательные скважины в верхнем пласте свидетельствуют о практическом отсут­ствии понижений в нем. Расход откачки 10 м /ч.

Требуется:

1

найти проводимость нижнего пласта;

оценить фактор перетекания В;

найти коэффициент фильтрации пород разделяющего

слоя, полагая т_р ** 1 м.

Из этого примера можно еще раз убедиться, что пере­текание реально проявляется и при низких проницаемо­стях разделяющих слоев. Чем больше площадь области

влияния водопонижения, тем важнее, при прочих равных условиях, роль этого процесса.