1. Конвективный перенос в подземных водах

1. Общее представление о конвекции в фильтрационном потоке

Прежде чем дать определение конвективного перено­са, напомним, что в теории фильтрации нами рассматри­вались потоки, статистически усредненные в пределах минимальных репрезентативных объемов (поперечных сечений). В частности, все частицы жидкости в пределах таких достаточно малых поперечных сечений потока счи­тались имеющими одну и ту же усредненную действитель­ную скорость движения (см. раздел 1.5.1).

Конвективный перенос можно определить как меха­нический (гидравлический) перенос фильтрационным потоком (статистически усредненным в только что упо­мянутом смысле) без отделения от него, т.е. при этом считается, что вещество или тепло перемещается со сред­ней действительной скоростью v*, связанной со скоростью фильтрации соотношением (1.53). Принимая во внима­ние, что основная масса фильтрующейся воды проходит через ограниченную долю порового пространства (см. раздел 1.2.1), формулу (1.53) принято записывать в виде:

_ v _ к'1

^Vd~ni,~'n^’ (6.1)

где п_а — так называемая активная пористость (трещи­новатость)

Вместе с тем, п_а является весьма условным парамет­ром. Опыт показывает, что относительный объем пор, участвующих в переносе вещества, на самом деле меняет­ся в зависимости от скорости фильтрации и времени кон­такта фильтрующегося раствора с породой. Так, лабора­торные опыты со среднезернистыми песками показали, что расчетные значения пористости п_а могут изменяться от 38 (при скорости фильтрации v, измеряемой первыми метрами в сутки) до 30% (при скорости, составляющей десятки метров в сутки). Общая пористость испытанных песков составляла 40% [21]. При больших скоростях и малом времени перенос идет по наиболее крупным, свя­занным друг с другом порам. С падением скорости и уве­личением времени в процесс вовлекаются более мелкие и «тупиковые» поры, так что в пределе активная пористость (трещиноватость) стремится к общей пористости (трещи­новатости)¹. За исключением специально оговоренных случаев мы будем далее предполагать, что рассматрива­ются достаточно длительные и медленные процессы, в которых величину п_а можно считать постоянной, близкой к общей пористости (трещиноватости). Соответственно, мы примем для нее далее обозначение п.

UJIJiuijljtil/li U!!;: Hi. 'У// / /

ТшшШпштпШш

!ШТТМГГЮЖ1ТПТГЛ1Т1Ш

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIJIIIJILLLIU

а

Так как скорости перемещения вещества или тепла фильтрующимся пото­ком усредняются — со­гласно формуле (6.1), то в таком представле­нии конвективный пе­ренос должен характе­ризоваться резкой гра­ницей раздела между вытесняющей и вытес­няемой жидкостью, т.е. перемешивания нет, и говорят о поршне­вом вытеснении одной жидкости другую. При плановой фильтрации в ^^ис- 6.1. Схемы миграции двух жидко-

стей различного состава

однородном пласте двух жидкостей с одинаковой плотно­стью фронт вытеснения нормален к поверхности напла­стования (рис. 6.1,а). Ситуация, однако, заметно услож­няется, если плотности жидкостей различны: фронт вытес­нения, в частности, отклоняется от нормали к напластова­нию — более тяжелая жидкость занимает вблизи фронта нижнюю часть пласта (см. рис. 6.1,6).

2. Конвекция разновесомых жидкостей

Рассмотрим сначала для примера, задачу о вторжении на побережье соленых океанических вод [6, 42]. Примем следующую упрощенную постановку (рис. 6.2,а). «Язык» соленых вод занимает стационарное предельное положе­ние. Дальнейшему его продвижению препятствует стаци­онарный фильтрационный поток пресных вод в океан . Движение в соленой воде, соответственно, отсутствует. В плановом потоке пресных вод вертикальной составляю­щей скорости фильтрации v_np можно пренебречь; его рас­ход (через сечение а>пр):

лл _Пр — хи ас, на границе раздела.

Для упрощения мощность его на границе с океаном принята весьма малой. Такое упрощение вполне оправдано в рамках предпосылки плановой фильтрации (см. для аналогии задачу о промежутке высачивания в разделе 3.1.3).

8 Рпр

рр

_НР=—ПР-+_2п

^пР о • д Р

° Гпр ' 'Ч' \е> ГС

+ ^zp⁼pHc-^zp^AP’

/

Так как на границе раздела гидростатическое давле­ние пресных вод Р_пр должно — по условию равновесия - равняться давлению соленых вод Р_с, то

гдер_с, р_пр — плотности соленой и пресной воды ;

— _ Р С . д — _ Рс Рщ>

Р О ’ Р Р

гпр гпр

Рис. 6.2. Схема интру­зии соленых вод в на­порный (а) и безна­порный (б) горизон­ты пресных вод

Так как движения в соленой воде нет, то Н_с - Н*!= const, и, следовательно,

dH* dz„

i/f =

q = -k(m.-z_p)b.f>-^^e_x

Тогда

dx ’ dx

Разделяем переменные и интегрируем:

V HI

т.е. линия раздела является параболой:

z_p = т — VT-д х/(к Ар) .

Можно показать [6], что этот результат хорошо опи­сывает процесс при достаточно болыпихх, т.е. при боль­шой длине «языка» в сравнении с мощностью пласта.

ЗАДАЧА. Рассмотрите аналогичную задачу в безнапорном вари­анте (см. рис. 6.1,6). Докажите, что в каждом расчетном сечении справедливо соотношение А_с Ар — h_np, где h_c и h_np — глубина зале­гания соленых вод и превышение уровня пресных вод относительно уровня океана. Покажите, что эта формула выводится и непосредст­венно из соображений гидростатики (на примере системы сообщаю­щихся сосудов). Объясните причину совпадения результатов при двух принятых подходах к выводу этой зависимости (обратите вни­мание, что фильтрация считается плановой).

Из формулы (6.2) при z_p = 0 получаем длину «языка» соленых вод:

(6.3)

где 1₀— градиент потока пресных вод за пределами

«языка».

Если принять характерное для морских вод значение р_с - 1,03 г/см³, когда Ар= 0,03, то расчетная длина «язы­ка» соленых вод может реально достигать стократной мощности водоносного пласта, т.е. измеряться первыми километрами и даже десятками километров.

ВОПРОС. Почему длина «языка» соленых вод может существен­но изменяться в зависимости от времени года?

ЗАМЕЧАНИЕ. При выводе формулы (6.2) мы исходили из ра­венства давлений по обе стороны от поверхности раздела. Полезно отметить, что на поверхности раздела двух несмешивающихся жид­костей существует разрыв давлений, обусловленный разницей сил

поверхностного натяжения (см. раздел 1.3): давление в несмачиваю­щей жидкости больше, чем в смачивающей. Эту разницу — капил­лярное давление на границе раздела, возрастающее по мере увели­чения относительного насыщения порового пространства несмачива­ющей жидкостью, обычно необходимо учитывать при взаимном вы­теснении и особенно в совместных течениях двух несмешивающихся жидкостей или при многофазных течениях (как это делается, напри­мер, в теории влагопереноса — см. раздел (6.8).

В более общих случаях динамического равновесия необходимо учитывать движение не только пресных, но и соленых вод, а также самой границы раздела. При этом поток в каждой области определяется законом Дарси, записанным в общем виде (1.59), причем значения напо­ров Н_пр и Н_с дифференцируются для каждой области, аналогично рассмотренному примеру (однако Н_с * const). Впрочем, более удобным оказывается использование зна-

чений напоров Н_пр и Я_с, приведенных к одной плотности

Z и ^Н1

р₀; например, если принять р₀ = р_пр, то

я° =—■£—+2, я"=-"^e—+pz ^пр Рпр '8 Рпр S ^и

ЗАМЕЧАНИЕ Для оценок значенийр (в г/см³) по общей мине­рализации воды С (в г/см ) можно использовать приближенную ли­нейную зависимость [12]:

Р⁼Рпр+^Яс’ (6.4)

где А ~ 0,65+0,7.

Функции Н_пр и Я®(каждая — в своей области) должны удовлет­ворять уравнению Лапласа (2.8) (режим движения считаем жест­ким) и конкретным условиям на внешних границах пласта. На по­движной поверхности раздела, где значения приведенных напоров

терпят разрыв (например, при р ==p_re/j, имеем: Н®— Н®_р — Ар2),

должно соблюдаться равенство не только давлений, как в приведен­ном выше примере, но и нормальных составляющих скорости филь­трации. Следовательно, согласно закону Дарси (1.59), для точек границы раздела необходимо выполнение условия

(6.5a)

Pnp &ⁿ Pc <*ⁿ ’

dn l*с дп ’

где n — нормаль к поверхности раздела;

k_Q — коэффициент проницаемости;

(I — коэффициент вязкости.

Из-за того, что граница раздела подвижна и положение ее зара­нее не задано, непосредственное аналитическое исследование такого рода задач связано с большими трудностями, и обычно приходится ориентироваться на физическое (для простейших методических за­дач) или математическое моделирование. При этом для потоков не слишком большой мощности (много меньшей длины языка соленых вод) в областях и пресной, и соленой воды может, как обычно, счи­таться справедливой расчетная модель плановой фильтрации. В та­кой приближенной постановке удается найти хотя бы ориентировоч­ные оценки для сложных процессов переноса разновесомых жидко­стей.

Так, например, в фильтрационных лотках изучалась скорость распространения «языка» соленых вод, вытесня­ющих пресные воды из бассейна с горизонтальным поло­жением свободного уровня, т.е. в условиях, когда разница плотностей двух жидкостей (наличие плотностного гра­диента) является единственным фактором переноса. На основании обработки ряда экспериментов подтверждена следующая зависимость длины «языка» от времени [34]:

(6.6)

где t — время от начала внедрения;

Т — проводимость пласта;

rj — численный коэффициент, rj«1,6.

Отсюда нетрудно увидеть, что в реальных условиях скорости перемещения языка соленых вод — даже при отсутствии дополнительного фильтрационного потока, способствующего переносу, — могут измеряться сотнями метров в год.

Особенно велика роль плотностной конвекции в вер­тикальных перемещениях водных масс. Например, благо­даря ей тяжелые стоки, попадающие из загразняющего бассейна на поверхность водоносного горизонта, быстро распространяются вдоль всей мощности последнего со скоростью [34]

__К АР

^vp п ’ (6.7)

где k_z — коэффициент фильтрации в вертикальном на­правлении;

Др —играет роль градиента, вызывающего вертикаль­ное перемещение (сравните (6.7) с формулой (6.1)).

ЗАДАЧА. В напорный горизонт пресных вод через скважины закачаны промышленные стоки с минерализацией 200 г/л ¹ 0,2 г/см³. Ниже под пластом глин мощностью 5 м, с коэффициентом фильтрации около 10‘³ м/сут и пористостью 40% залегает другой водоносный горизонт, напоры в котором на 0,2 м выше, чем в первом. Будет ли загрязняться стоками нижний горизонт и если да, то через какое время? Как изменится расчетная скорость движения стоков через глины, если принять их мощность равной 10 м?

В какую сторону вероятнее всего изменится результат, если уточнить, что данные о проницаемости глин на участке были получе­ны опытными откачками?

Вертикальная плотностная конвекция может вызы­ваться также различиями в температуре воды вдоль мощ­ности водоносного комплекса. Например, на месторожде­ниях подземных гидротерм, имеющих достаточно хоро­шую связь с поверхностными и атмосферными водами, важную роль в функционировании гидротермальной сис­темы играет естественная (плотностная) конвекция, связанная с опусканием более тяжелых холодных вод на глубину, с их прогревом и последующим восходящим движением к участкам разгрузки.

При исследовании этой проблемы, как и ряда других (в частности, характерных для нефтяной гидрогеологии [12]), приходится рассматривать потоки, в которых плот-

ность жидкости изменяется непрерывно, без формирова­ния поверхности раздела. Методы исследования подо­бных задач отражены в ряде работ [6, 12, 13, 34]