2. Прямое определение параметров

интегрированием исходных дифференциальных уравнений на математических моделях

(7.4)

(7.4)

Заметим прежде всего, что наиболее очевидный подход—реше­ние дифференциального уравнения, записанного непосредственно относительно искомого параметра, — оказывается обычно неприем­лемым не только из-за отсутствия необходимого объема входных данных, но и ввиду неизбежных погрешностей последних. Так, если находится коэффициент пьезопроводности, то, казалось бы, его мож­но определить из дифференциального уравнения вида (2.22) по фор­муле

четной точки). В таком варианте, однако, приходится численно диф­ференцировать опытную функцию S(х, у, 0, что является, как изве­стно [16], операцией некорректной. Нетрудно показать, например, что дисперсия опытной функции при этом многократно возрастает,

так что параметр а*будет определен с большой погрешностью.

Для полного отказа от упомянутых некорректных операций не­обходимо, очевидно, искать параметры из соотношений, в которых отсутствуют производные от опытных функций. Для этого предвари­тельно необходимо либо приближенно проинтегрировать непосред­ственно исходное дифференциальное уравнение, либо заменить его интегральным аналогом и решить затем последнее относительно па­раметра (интегральные методы — см. раздел 7.2.3).

Наиболее эффективный аппарат для определения параметров из исходного уравнения дает численное или аналоговое моделирование, которое позволяет, в частности, гибко учитывать требования физи­ческого правдоподобия модели при введении в нее контрольной ин­формации о напорах и расходах потока. Для условий установивше­гося режима фильтрации решение обычно заключается в расчете усредненной проводимости в пределах рассматриваемого участка или в определении условий питания водоносного горизонта. Эти за­дачи можно решать как на сеточных моделях, так и на моделях из электропроводящей бумаги или комбинированных. Например, для определения средней проводимости на бумаге вырезают зону, содер­жащую выраоотки с известными водопритоками и ограниченную замкнутой гидроизогипсой с заданным напором вдоль нее или други­ми контурами с известными граничными условиями. Проводимость моделируемой зоны рассчитывают исходя из замеренной на модели силы тока. При наличии на отдельных участках вертикальных пере­токов или дополнительного инфильтрационного питания целесооб­разно использовать комбинированные модели из электропроводной бумаги с дополнительными переменными сопротивлениями, диск­ретно присоединенными к бумажной модели [14], или же двумерные численные модели.

При решении задач неустановившейся фильтрации на моделях обычно определяют усредненную водоотдачу (при известной прово­димости) или коэффициент пьезопроводности. Например, решение обратной задачи такого типа по методу Либмана (см. раздел 4.3) сводится к определению соотношения между величинами сопротив­лений R_x и Ry отвечающими проводимостям отдельных ячеек моде­ли, и временными сопротивлениями R_t, подключенными к каждой узловой точке: при заданных граничных и начальных условиях на модели подбирается такое усредненное соотношение R_t/R_x, при ко­тором в ее узловых точках фиксируются потенциалы, соответствую­щие напорам на известный момент времени. В целом же, в условиях однородных фильтрационных полей наиболее целесообразно ис­пользовать ЛС-модели, на которых коэффициенты пьезопроводно­сти легко определяются по соотношениям модельного и натурного времени, требуемого для достижения заданного распределения напо­ров (см. раздел 4.3).

Впрочем, использование аналоговых моделей сохраняет какое- то значение преимущественно в рамках учебного процесса: наличие хорошо разработанного программного обеспечения (в частности, для персональных ЭВМ) позволяет уже сейчас делать основной упор в решении обратных задач на численное моделирование (см. раздел

7.2.4).