3. Ограничения на закон Дарси

Несмотря на широкий круг применимости, закон Дар­си имеет свои ограничения; перейдем к их рассмотрению. Закон Дарси отвечает ламинарному режиму те-

1

чения.

Принято считать [27 ], что для большинства пористых горных пород ламинарный характер движения отмечается при следующих числах Рейнольдса (см. раздел 1.1.6):

^{Re =} Д75лТД23 рГ~ ~ ~⁷⁺⁹ ’ (1.64)

где d_p — расчетный (действующий) диаметр частиц.

Например, для крупнозернистых песков при п * 0,4, d =1 мм и при v= 10м/сутВе*0,2.

В реальных условиях требование (1.64) почти всегда выполняется, за исключением, быть может, участков, не­посредственно прилегающих к стенке водозаборного со­оружения, где, кстати говоря, нередко отмечаются и за­метные нарушения структуры породы, обусловленные выносом частиц фильтрующейся водой.

Правда, следует полагать, что из-за влияния таких факторов, как извилистость поровых каналов, изменчи­вость абсолютных размеров пор и др., критическое число Рейнольдса может быть для разных пород (с одинаковыми d_p й п) существенно различным; поэтому приведенные величины являются лишь некоторым ориентиром, отно­сительно стабильным для группы однородных раздельно­зернистых пород. Однако практика и многочисленные исследования показывают, что переход к (условно) тур­булентному режиму отмечается в сравнительно редких случаях — главным образом для некоторых трещинова­тых пород.

Значения критических чисел Рейнольдса для трещиноватых по­род принято оценивать по следующей зависимости, считающейся аналогом формулы (1.64) для раздельнозернистых пород [36 ]:

v'>lkl’p in _Re = jw < R_e « _H12.

И'ж _n²^ ^Kp (1.64a)

Для трещин достаточно большого раскрытия требова­ние о ламинарности режима не выполняется, и лучшие, нежели закон Дарси, результаты дает зависимость [34]

^/_т_зн\

¹ ~ 31

I = av + bv², (1.65)

где / — гидравлический градиент

а и Ъ — постоянные величины для^анной 'системы горная порода-жидкость.

Если положить а-1/к, то при малых скоростях выра­жение (1.65) непрерывно переходит в закон Дарси.

На практике для трещиноватых пород чаще всего допустимо пользоваться законом Дарси, за исключени­ем тех закарстованных пород, в которых проницаемость обусловлена главным образом отдельными карстовыми каналами сравнительно большого раскрытия (миллимет­ры и более). Однако трудности описания движения жид­костей в таких породах связаны не столько с неясностью

формулировки основного закона движения, сколько с не­достатком информации об исходных параметрах прони­цаемости.

Закон Дарси проверяется, как правило, в экспе­

риментах со стационарными потоками, исключающих проявление инерционных сил. Однако у нас имеются вполне серьезные основания для пренебрежения силами инерции и в подавляющем большинстве случаев нестаци­онарной фильтрации: из общей гидромеханики известно, что для вязких течений с малыми числами Рейнольдса роль инерции крайне несущественна.

dv,

Подтвердим это качественно для фильтрационных течений. Со­гласно второму закону Ньютона, силы инерции, приходящиеся на жидкость в единице ооьема горной породы, выразятся формулой

д _ _Л dv

/ин Р'^п'dt Р'dt' (1.66)

При ориентации вектора v по направлению / полную производ­ную dv/ dt можно записать в виде [16 ]

dv(Lt)_dv,dv d/_dv. dv_dv.vdv (БГ Ji⁺-dl'Tt-Jt ^{+ v}*'Jl-Tt⁺h"dl' (1.67)

Так как скорости фильтрации и их изменения в пространстве обычно являются малыми величинами, то вторым членом в формуле (1.67), как произведением двух малых величин, можно пренебречь:

— »—

dt dt' (1.67а)

Тоща, с учетом закона Дарси

,v__dv_ _п и dl

ин Р' dt Р dt' (1.68)

Предположим теперь, что, как и в условиях установившегося движения, силы трения /^ , приходящиеся на единицу жидкости, выражаются формулой (1.48). Сопоставляя (1.48) и (1.68), получаем

Так как отношение к!g обычно очень мало (менее 10 с), то, как правило, силы инерции пренебрежимо малы по сравнению с силами внутреннего трения, отраженными в законе Дарси. Исключение мо­гут составлять кратковременные динамические процессы в подзем­ных водах (взрывы, землетрясения и т.п.), коща градиенты фильт­рации претерпевают резкие, скачкообразные изменения во времени.

Согласно закону Дарси движение жидкостей в пористой среде имеет место при любом сколь угодно ма­лом градиенте. Между тем, в разделе 1.1.5 мы отметили возможность проявления водой аномальной сдвиговой прочности при движении ее в очень тонких трубках. Сле­довательно, аналогичные эффекты можно ожидать и в горных породах, характеризующихся малыми абсолют­ными размерами пор, т.е. в первую очередь в глинистых породах; если добавить к этому характерные для глин эффекты иммобилизации свободной воды (см. раздел 1.2), то станет ясно, что должен существовать нижний предел применимости закона Дарси. Для решения боль­шинства практических задач этот предел может быть фор­мально учтен введением так называемого начального гра­диента фильтрации /_н, определяемого опытным путем:

дН

Ы

дН

Ы

(1.70)

при

Тем самым предполагается, что движение жидкости в глинах начинается лишь тогда, когда градиент напора д Н

~Yj- превысит начальный градиент 1_Н (рис. 1.22). Для не­которых глинистых пород величина 1_Н измеряется десят­ками и даже сотнями единиц, т.е. такие породы воду обыч­но практически не фильтруют. Нелишне, однако, огово­рить, что понятие начального градиента является доста­точно условным и, более того, неопределенным, если участь, например, зависимость 1_Н от абсолютной величи­ны гидростатического давления (напора) и особенно от температуры. В частности, резкое падение (нередко до нуля) значений начального градиента в глинистых поро-

0

</

v =

дН

— к

>/.

при

Ы

дах отмечается при повыше­нии температуры до 60- 80°С, что обусловлено мас­совым переходом рыхло связанной воды в свободное состояние (см. раздел 1.2.2).

[~4~| Ограничения на применение закона Дарси, особенно в трещиноватых породах, связаны также с необходимостью выполне- ния требований, предъявля­емых к выделенному для Рис. J.22. График зависимости рассмотрения объему пород дорасти фильтрации от гра- ^ _раз^_{ел 1<2-3)}. _{как ухе}

отмечено, минимальный ре­презентативный объем в трещиноватых породах может измеряться десятками и даже сотнями метров — при боль­ших расстояниях между основными водопроводящими трещинами.

Наконец, важные ограничения вытекают из ус­редняющего характера закона Дарси, имеющего дело лишь со средней скоростью фильтрации и никак не учи­тывающего индивидуальные скорости и траектории частиц. Более подробно этот вопрос освещен в разделе 1.5.4.