2. Дискретные модели - сетки электрических сопротивлений

Введенное нами в разделе 3.4 понятие фильтрацион­ного сопротивления позволяет наиболее просто уяснить возможность моделирования фильтрационных процессов на моделях с дискретным представлением пространства. Например, в случае планового потока, зависящего от ко­ординат х и у, область фильтрации разбивается для этого прямоугольной сеткой на отдельные участки со сторона­ми А х и А у (рис. 3.19,а). Реальный поток заменяется далее условным потоком, в котором движение жидкости осуществляется лишь по прямолинейным траекториям, соединяющим центры соседних блоков. Тогда фильтраци­онное сопротивления между узловыми точками согласно (3.54) имеют вид

Ах

причем при неравномерной разбивке значенияА х и А у в этих формулах могут меняться от узла к узлу. При равно­мерной квадратной сетке

^Ф*=Т/ (3.77а)

Электрическим аналогом фильтрационной сетки яв­ляется сетка переменных электрических сопротивлений, один из элементов которой показан на рис. 3.19,6. Значе­ния сопротивлений R_x и R_y назначаются пропорциональ­ными фильтрационным сопротивлениям Ф_х и Ф_у:

^ф* = ^аф'^Кх’ ^ФХ = ^аф'^ку. (3.78)

где а_ф —■ масштаб сопротивлений.

Рис. 3.19. Разбивка исходной области фильтрации (а) и элемент сетки сопротивлений (б)

Аналогично мо­жет набираться сетка для модели­рования профиль­ных потоков (при замене Т_х на к_х и Т_у на к _у).

Для модели­рования создают­ся специальные наборы сопротив­лений — сеточные интеграторы. Принципы моде­лирования в це­лом остаются по­добными сплош­ным бумажным моделям.

В специаль­ных пояснениях нуждается мето­дика моделирова­ния скважин. Так как соблюдение Рис. 3.20. Схемы к обосновании) методики всех особенностей представления скважин на сеточной моде- „„„„„„ п-мо™ ли в плане (а) и разрезе (б) потока ВОЛИЗИ

скважины потре­бовало бы здесь весьма дробной пространственной раз­бивки, то прибегают к приближенным приемам, основан­ным на предпосылке о плоскорадиальном характере при- скважинного потока [34]. Так, для скважины, располо­женной в центре квадратного блока (рис. 3.20), согласно формуле (3.32)

где Я. — напор в соседних блоках.

	/		\
	■ 7 А 1 \	• О	\ i.C
	\	^ 1-^ Т)	У
	*х—

a

JU-LM

JLt

JL—L

JUUL

.jL/ /. LJ /.

_Г1~т-т~1р_ГТТ7

Г! ГГ

‘с'^т '

(3.79)

Заменим плоскорадиальное движение к скважине че­тырьмя плоскопараллельными потоками от соседних бло­ков, причем для соблюдения условия эквивалентности (аналогично изложенному в разделе 3.4) напор в скважи­не Н заменим на усредненный напор в квадратном блоке Н_ф:

бс^=4Г“дЗ^ Ах, или Я.-Я_ф=^. _{(3 80)}

Следовательно, местные потери напора, вызванные радиальным характером движения вблизи скважины, со­ставят:

Х,„М-0,25

Q /, Л \

ЛЯ =Я_А—Я = ^с

(3.81)

с ф С у

Соответствующее дополнительное фильтрационное сопротивление, которое необходимо подключить к узло­вой точке со скважинной, равно:

^дя, 1 (1 , д* „

In— 0,25

с

(3.82)

Для скважины с заданным расходом от дополнитель­ного сопротивления можно отказаться, помня, что в узло­вой точке тогда замеряется потенциал, отвечающий сред­нему напору в блоке Нф. Для определения напора в сква­жине Н_с используется формула (3.81).

Контурные системы скважин, как и в случае сплош­ных моделей, легче всего моделируются в постановке, упрощенной с помощью метода эквивалентных фильтра­ционных сопротивлений (более подробно об этом расска­зано в разделе (8.2).

Не вызывает принципиальных трудностей и учет ин- фильтрационного питания или взаимодействия водонос­ных пластов через разделяющие слои. Так, в последнем случае достаточно соединить соответственные узловые точки двух сеток, отвечающих водоносным пластам, электрическими сопротивлениями, эквивалентными фильтрационным сопротивлениям элементарных блоков

в пределах разделяющего слоя (учитывая, что фильтра­ция в нем идет вкрест напластования).

В целом сеточные модели позволяют эффективно изучать движение подземных вод в существенно более широком круге условий, нежели простейшие бумажные модели. Упомянем, в частности, три важных момента:

|Г в отличие от бумажных моделей легко имитиру­ются неоднородные фильтрующие среды;

[1Г сеточные модели позволяют довольно просто оценивать нелинейные процессы, в которых, например, проводимость зависит от величины (искомого) напора: для этого значения фильтрационных сопротивлений изменяют­ся по ходу решения задачи с тем, чтобы они оказались отвечающими изменениям мощности (или, в более общем случае, — проводимости) потока в отдельных расчетных точках (более подробно этот вопрос освещен в разделе 8.3); на сеточных моделях обычно гораздо проще реша-

ютсяобратные задачи, связанные с необходимостью подбо­ра элементов модели по ходу решения (см. раздел 7.2).

Добавим, наконец, что, как правило, именно на сеточ­ных моделях имитируется и нестационарная фильтрация, что позволяет говорить в определенном смысле об их универсальности.

Контрольные вопросы

|~Т~] Каким основным фильтрационным параметром характе­ризуется стационарное плановое движение подземных вод? Почему подобным параметром нельзя описывать стационарное перетекание через разделяющий пласт? Объясните с физических позиций, почему в уравнениях стационарной фильтрации никак не отражены емкост­ные свойства пород?

[ 2 [ На основании формул (3.9), (3.10) и соответственно (3.3) и (3.4)покажите формальную аналогию между решениями идентич­ных задач стационарной фильтрации в напорной и безнапорной по­становках (см. также формальную подстановку (2.38а)).

Объяснить с физических позиций возникновение проме­

жутка высачивания на границе безнапорного потока.

Подумайте, как качественно связана величина промежутка вы­сачивания с мощностью потока вблизи границы, с удельным расхо­дом потока, с проницаемостью пород?

[~4~| Что отражает потенциал Гиринского? Указать ориентиро­вочные пределы его применения для расчетов движения в слоистых толщах. Записать выражение потенциала Гиринского для участка водоносного горизонта, представленного тремя однородными просло­ями.

5 Как можно охарактеризовать вид депрессионной поверх- ностйоезнапорного плоскопараллельногопотока? Меняется ли гра­диент вдоль потока? Как качественно изменится вид депрессионной поверхности при наличии инфильтрации? Меняется ли расход под­земного потока от сечения к сечению?

[~6~| Для каких условий справедлива выведенная в разделе 3.2 зависимость для скважины в пласте с перетеканием? Как меняется градиент с удалением от скважины? Найдите выражение для оценки расхода потока в любом сечении. Как меняется расход в зависимости от расстояния до скважины на небольших удалениях от нее? Объяс- ните полученный результат физически.

Что называется напорно-безнапорной фильтрацией? Почему

решение для напорно-безнапорного движения, полученное С помощью метода фрагментов, применимо лишь для частного случая стационар­ного движения?

|8] В чем заключается сущность принципа суперпозиции? Ка­кую конкретную формулировку этого принципа можно предложить для расчета систем скважин? В чем суть метода отражений?

|9 I Объясните структуру формулы большого колодца и смысл понятия расчетного радиуса питания.

10. Почему метод сложения течений неприменим для нели­нейных задач? В чем трудности его применения при расчетах систем скважин с заданными уровнями? Как учитывается (благодаря этому методу) инфильтрационное питание?

11. Что физически отражает фильтрационное сопротивление? Как оно формально определяется? Запишите выражения для фильт­рационных сопротивлений исходя из решений одномерных задач, полученных в разделах 3.1.1, 3.1.2., 3.1.6, 3.2.1. Зависит ли фильт­рационное сопротивление напорного потока от понижения напора? Ответьте на тот же вопрос для безнапорного потока.

|~12] Кратко охарактеризуйте основные типы аналоговых моде­лей, используемых при изучении стационарной фильтрации. Какое условие должно выполняться при моделировании скважин на элект­ропроводной бумаге? Каковы основные условия при моделировании стационарной фильтрации на сетке электрических сопротивлений?

13 Для чего и как используется метод эквивалентных фильт­рационных сопротивлений при аналоговом моделировании? При мо­делировании каких задач стационарной фильтрации может наиболее эффективно использоваться этот метод? Ответьте на аналогичный вопрос применительно к принципу сложения течений.

В отличие от задач, рассмотренных в гл. 3, анализ нестационарных задач должен учитывать изменения ем­кости (а подчас — и других характеристик) водоносной системы во времени. Соответственно, среди основных фильтрационных параметров, описывающих поведение такой системы, появляются (наряду с водопроводимо- стью) коэффициенты гравитационной и упругой водоот­дачи или обобщенные параметры, характеризующие ско­рость распространения фильтрационных возмущений в водоносных комплексах, — коэффициенты уровнепро- водности и пьезопроводности (см. раздел 2.3).

I ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ ПЛАНОВОЙ

й

| НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

ПРИМЕР. Рассмотрим развитие фильтрационного процесса применительно к простейшей задаче о скважине с постоянным рас­ходом, вводимой в работу в безнапорном водоносном горизонте вбли­зи реки. На рис. 4.1 показано положение депрессионной воронки на ряд последовательных моментов времени. В первые моменты (напри­мер, кривая 1) скважина откачивает воду непосредственно из пласта

• из той его зоны (ОА'В'В), в которой уже отмечены понижения уровней (напоров): здесь происходит упругое сжатие пласта (сраба­тываются его упругие запасы) и имеет место стекание свободной воды из верхней, осушенной зоны — АА'В' (срабатываются гравитацион­ные запасы пласта). Продолжающийся отбор воды скважиной может быть компенсирован в этих условиях лишь дальнейшим развитием процесса понижения уровней по глубине и по площади пласта. Со временем депрессионная воронка достигает реки (кривая 2), т.е. здесь возникает градиент напоров, обусловливающий поступление речных вод в пласт. Продолжающееся понижение напоров и соответ­ственно рост градиентов фильтрации, приводят к увеличению Подто­ка речных вод до тех пор, пока суммарное поступление воды из реки не сравняется с расходом скважины. С этого момента (кривая 3) весь водоотбор обеспечивается транзитным потоком от реки к скважине. Сам пласт при этом воды больше не отдает, напоры в нем не меняются

• наступает установившийся режим движения.

ВОПРОС. Как изменится схема развития фильтрационного процесса, если уровень в скважине снизится до отметки водоупора (точка 0)?

Рис. 4.1. Фильтрация к скважине вблизи реки

ЗАДАЧА. Попробуйте привести примеры условий фильтрации, в которых стационарный режим вообще не наступает.

Таким образом, для нестационарного режима движе­ния характерна сработка упругих (в случае напорного пласта) или упругогравитационных (в случае безнапор­ного пласта) запасов водоносных систем, сопровождае­мая изменением напоров во времени: Н - f(х, у, t). Соот­ветственно в уравнениях фильтрации появляются вре­менные производные с коэффициентами при них, отвеча­ющими упругой (для напорных пластов) или гравитаци­онной (для безнапорных пластов) водоотдаче . Решение этих уравнений, общий вид которых представлен выраже­ниями (2.22) или (2.33), является задачей существенно более сложной, чем в случае рассмотренных выше стаци­онарных процессов. С максимальным эффектом для этого используются методы операционного исчисления, осно­ванные, в частности, на интегральном преобразовании Лапласа или Лапласа-Карсона. Для одномерных уравне­ний с успехом используются также некоторые специальные подстановки, с помощью которых функция двух перемен­ных Н(х, t) или H(r, t) сводится к функции одной безразмерной переменной, объединяющей простран­ственную и временную координаты (так называемые автомодельные решения, основанные на преобразова­ниях подобия). С примеров такого рода мы и начнем ознакомление с методами решения нестационарных геофильтрационных задач.