4. Общие представления о статистической теории фильтрации

Полуэмпирический характер закона Дарси, с одной стороны, заставил ряд исследователей усомниться в допустимости его приме­нения — во всяком случае в условиях, достаточно далеких от экспе­риментальных, а с другой — стимулировал неоднократные попытки более строгого физического и математического его обоснования на базе различного рода физических моделей (капиллярных и др.). Од­нако все эти попытки, к каким бы интересным частным результатам они не приводили, так и не решили упомянутой основной задачи, чего, пожалуй, и следовало ожидать, имея в виду прежде всего иск­лючительно сложный характер геометрии пористой среды. Поэтому, в частности, все теории, представлявшие пористую среду в виде сложных систем капилляров, не смогли выйти на позиции практич- ского их приложения.

Между тем, было обнаружено несоответствие некоторых прак­тических результатов теории, основанной на законе Дарси.

ПРИМЕР. На входном сечении в фильтрационной колонке с установившимся расходом жидкости через нее Q =v *ft> в течение некоторого времени t подается несорбирующийся индикатор (соль, краска и т.п.) с концентрацией C_Q. На выходе из колонки регулярно отбирают пробы и строят график C(t) (рис. 1.23). Здесь же нанесен график, рассчитанный по закону Дарси, когда все частицы индика­тора переносятся с постоянной скоростью v_d Из графиков видно,

что некоторая доля частиц движется со скоростями, заметно больши­ми v_d, другие, наоборот, фильтруются медленнее; максимум концен­трации С_тах примерно отвечает скорости v_d, но C_max < C_Q. Подчерк­нем, что этих результатов можно было ждать априорно, так как закон Дарси, будучи по своей сути законом статистическим, описывает лишь среднюю скорость фильтрации и не учитывает неравномерно­сти поля скоростей в пределах порового пространства.

Необходимость решения задач, учитывающих индивидуальные траектории и скорости движения частиц жидкости в пористой среде, постоянно побуждала искать какие-то новые возможности для раз­вития теории фильтрации. При этом некоторые исследователи [33 ] пошли по принципиально иному пути: они вообще отказались от попыток учета геометрии пористой среды и стали рассматривать последнюю как некую статистическую систему, для которой абсо­лютная величина скорости и направление движения частиц жидко­сти являются статистическими показателями, определенными с не­которой степенью вероятности. Такой подход естественно вытекал из статистического характера самой пористой среды: рассматривая в массиве горных пород ту или иную фиксированную точку, мы может лишь с определенной долей вероятности отнести ее к минеральной

С

Г

Рис. 1.23. График измене- ⁰ ния концентрации индика­тора С:

1 - фактический; 2 - рассчитанный по закону Дарси; 3 - на входе в опытную колонку

О фазе или к поровому пространству (эта вероятность численно равна пористости). Жидкость в такой среде имеет среднюю скорость v_d = v/n, определяемую законом Дарси, но отдельные ее частицы могут опережать «среднее движение» или отставать от него. Соответствую­щий матерматический аппарат также логически вытекал из теорети­ческих достижений тех дисциплин, которые уже давно занимались случайными процессами. Поэтому ряд авторов, проведя аналогию с броуновским движением, предложили для описания задач фильтра­ции известные уравнения конвективной диффузии [33 ]. Так возник­ла статистическая теория фильтрации, позволившая решить ряд важных практических задач, перед которыми «классическая» филь­трационная теория в свое время была бессильна.

В этих условиях естественно поставить вопрос: сохраняется ли необходимость в теории, построенной на законе Дарси, или же она становится ненужной после появления более общей и всеохватываю­щей статистической теории. Ответ на этот вопрос, несомненно, дол­жен быть положительным. Прежде всего теория, основанная на за­коне Дарси, проста и позволяет получить достаточно строгие (в рам­ках этой теории) решения самых сложных—с математической точки зрения — задач. Конечно, одно только это достоинство теории не могло бы служить основанием для ее широкого применения. Гораздо более важно, что классическая теория фильтрации дает для весьма широкого круга задач практически точный результат, и в то же время в рамках этой теории разработаны эффективные и простые методы определения исходных данных — фильтрационных параметров. По­следнее обстоятельство является решающим и для полного оправда­ния принятого нами феноменологического построения основ теории фильтрации, и для самого широкого применения этой теории на практике — во всех тех случаях, когда по требованиям решаемой задачи допустимо усреднение расчетной скорости в каждой точке по элементарному объему фильтрующей среды; более того, и в прочих случаях мы сумеем избежать ограничений развиваемой здесь теории посредством дополнительных феноменологических построений (см. гл. б).