3. Моделирование нестационарных плановых потоков

1. Конечно-разностная форма дифференциальных уравнений

Наиболее широкие возможности для решения неста­ционарных задач представляет математическое модели­рование - аналоговое, использующее чаще всего электри­ческие модели, и численное, реализуемое на ЭВМ. В тео­ретической основе моделирования нестационарной филь­трации лежит метод конечных разностей , в соответствии

с которым и пространство, и время разбиваются на конеч­ные интервалы, т.е. представляются дискретно на некото­рой пространственно-временной сетке с узловыми точка­ми x_j} у_;., t_k. При этом реальное непрерывное распределе­ние напоров Н(х, у, 0 заменяется дискретным: отыскива­ют или считают заданными напоры H(x_if y_t, t_k) во всех узловых точках сетки. Производные от напора в той или иной точке при этом заменяют приближенными конечно­разностными представлениями и они оказываются, таким образом, выраженными через разности в значениях напо­ров на концах пространственных или временных интерва­лов, включающих данную расчетную точку. Например, для одномерного плоскопараллельного случая, когда об­ласть фильтрации длиной L разбита сечениями x_t (0 < х,-< L) на интервалы длиной Дх, а расчетный период времени t разделен на последовательные промежутки t_A(0< t_k< t) продолжительностью Д t, имеем следующие выражения для производных в произвольной точке сетки Ц, /¹>:

д Н _ ^Я(*;, h) ~^н <Л-1> h) _ ^Я<Л+1> ⁽к)~^Н (^ХР h)

~ 9

дН

(4.64)

Дх

дх^{2 x}ih А*

Дх

Дх

(4.66)

(Д xf

В дальнейшем для упрощения записи мы введем след- щующую индексацию: H(x_it t_k) = н£ где н£— напор в

расчетном узле номер i (0< i<L/Ax на к-ом расчетном слое (0 £ к < A t/ t). В этих обозначениях, на­пример, уравнение (4.1) в точке /, к имеет следующее приближенное конечно-разностное представление:

_а* ^Яж - 2 Я,*+ яД_, ^ яД-Я*~'

“ (Дх)^{2 А<} ’ (4.67)

ЗАМЕЧАНИЕ. Если придать этому уравнению несколько иную форму:

яД-яД_, яД₊,-яД .яД-У-яД

Ах Ах Р At ’(4.67а)

то оно приобретает простой балансовый смысл (рис. 4.7,а). В самом деле, первое слагаемое в левой части - расход потока в среднем сечении (/ — 1/2) между узлами ini — 1, второе слагаемое — то же, в среднем сечении (/ + 1/2) между блоками / + 1 и /, а правая часть выра­жает собой скорость изменения объема воды, заключен­ного в интервале (/ — 1/2; i + 1/2), при снижении пьезо­метрической кривой. Иначе говоря, уравнение (4.67) — суть конечно-разностная форма условия сохранения мас­сы жидкости — уравнения неразрывности.

2. Аналоговое моделирование нестационарной фильтрации

Придадим уравнению (4.67а) более общую форму,

считая, что параметры пласта ju* и Т могут меняться от сечения к сечению:

-t-k&t

y///////

LJULLL/JLLL

a

**4

a;

I.' ■| •

гггтгт

ax

71^г7~7~ГТТГ771~

L+i

6

Ui-tRi-i Ut *i« ^uh

Puc. 4.7. Моделирова­ние нестационарной фильтрации: a - исходная схема напорно­го пласта; 6 - схема рези­сторной сетки

где Т., и Т_м — проводимости на участках между сече­ниями i+(i - 1) и r*(rfl); вводя фильтра­ционные сопротивления согласно фор­муле (3.54)*, получаем:

н[L, -я? .Щн-н?

Ф,._ 1 ⁺ Ф,

* ¹

H_t (О.

'i+1 • • ^Ai ’ (4.68)

где w_i — площадь участка между сечениями i + 1 /2 и i - 1/2, прилежащего к точке i(a)_t. = Ах- 1);

И.

упругая водоотдача на этом участке.

Ширину потока В считаем равной единице.

В более компактной форме уравнение (4.68) можно записать, опуская индекс i расчетного узла:

v Hj—H * Н^к-Н^к~^х

Z ——ii ы гт—',

Ф} * A t (4.68а)

где индекс /=1,2 отвечает узлам, соседним с расчетным (я-2).

Рассмотрим теперь сетку электрических сопротивле­ний, элементы которой представлены на рис. 4.7б. Со­гласно закону Кирхгофа, сумма токов, поступающих в i-ый узел, должна равняться нулю:

U^k - U^k uL. - и^к 1/!~¹ - и^к

¹ _(_ ^{f 1 1} _|_ ‘ I _ Q

^Ri-1 ^Rt+1 ^R

t:

(4.69)

(обозначения потенциалов и и сопротивлений R ясны из рис. 4.76). Перепишем формулу (4.69):

Р*Ч -^и> vbi-ut_v}-dr

^Ri~ i ^Ri+1 ^RI, ’ (4.70)

или в более компактной форме:

и и^к- г/^-1

(4.70а)

Вспоминая теперь материал раздела 3.5.2, мы убежда­емся, что уравнения (4.70) и (4.70а) оказываются экви­валентными уравнениям (4.68) и (4.68а) нестационарной фильтрации, если потребовать соответствия:

a R - ^At

^ф ^ V®’ (4-71)

где а_ф — выбранный масштаб сопротивлений;

поэтому R_t носит название временного сопро­тивления.

Следовательно, на построенной таким образом сетке электрических сопротивлений потенциалы 17* отвечают

напорам Я* на расчетный момент &, — если на концы временных сопротивлений R_t подаются известные потен-

^li

циалы i/*^—1 в предшествующий момент (£-1). Решение задачи на такой модели проводится от шага к шагу:

[Т ] на концы сопротивлений R_t подаются потенциа­лы t/P, отвечающие заданным начальным значениям на­пора Я.⁰, и в узловых точках снимаются потенциалы Я/, отвечающие напорам Я/для первого расчетного момента времени t_x = 1 A t\

_2 J значения Uj подаются на концы временных со­противлений и в узловых точках снимаются потенциалы Uf и т.д.

Аналогично могут решаться и двумерные плановые задачи, тогда каждый узел сетки будет содержать пять сопротивлений (в уравнении (4.68а) /1 = 4).

Т77УТТТ71^\У1^^Т7Т77%-ПМ /7~/7х

L

Рис. 4.8. Схема пространственной разбивки области фильтрации

Изложенная схема моделирования была предложена Либманом. Благодаря дискретному представлению вре­мени она позволяет, таким образом, моделировать неста­ционарный фильтрационный процесс стационарным электрическим током. Отсюда видно, что прямая анало­га я процессов в данном случае отсутствует, и сетка Либ- мана представляет собой, по сути дела, аналоговое вычис­лительное устройство (см. раздел 1.7). Она относится к так называемым ЛЛ-сеткам, в которых и время, и про­странство моделируются дискретно с помощью активных электрических сопротивлений-резисторов (R).

Наряду с этим используются и ЛС-сетки, в которых время остается непрерывным: емкость водоносной систе­мы реализуется разрядкой во времени электрических ем­костей-конденсаторов (С), подключаемых в узловые точ­ки (вместо временных сопротивлений). В этом случае уравнение электрического тока имеет вид:

" ^иг^и _С»У

l = i ^Ri ^st_M' (4.72)

где, в отличие от формулы (4.70а), в правой части сохра­няется непрерывная форма записи производной. Так как этому случаю соответствует представление правой части

уравнения (4.68) в виде/i а)~~, то для подобия упомяну-

д t

тых уравнений фильтрации и нестационарного электри­ческого тока необходимо потребовать, чтобы

ц* а) С, t — a_ft_M, (4.73)

где t_M — модельное время (замеряемое время разрядки конденсатора).

Масштабные коэффициенты a_t и а_ф должны быть, очевидно, связаны дополнительным критерием подобия:

^at~^a[i ^аФ" (4.74)

Для решения гидрогеологических задач на RR- и RC- сетках используются специальные электроинтеграторы, но в принципе такого рода модель (особенно RR-сетка) может быть сравнительно легко собрана для каждого кон­кретною случая.

Простота, доступность и физическая осязаемость се­точных электрических моделей наряду с вполне удовлет­ворительной надежностью и точностью привели в свое

время к исключительно широкому и эффективному их внедрению в практику гидрогеологических исследований (примеры такого рода приведены в разделе 8.3); методи­ческие аспекты моделирования более подробно рассмот­рены, например, в работах [7,14]. Вместе с тем, в послед­ние десятилетия в гидрогеологии наиболее широко стало использоваться математическое моделирование на ЭВМ [19,20,40,48].