5. Математическая модель плановой фильтрации — условия применимости и основные расчетные схемы

1. Об условиях применимости расчетной модели плановой фильтрации

Рассмотрим несколько характерных примеров, приве­денных на рис. 2.15. Все они выбраны нами потому, что характер граничных условий обусловливает существен­ное проявление вертикальных составляющих скорости (вкрест напластования), т.е. физически ясно, что фильт­рация в этих примерах, вообще говоря, неплановая.

Рис. 2.15. Схематическое представление линий тока и линий рав­ных напоров на участках, прилежащих к границам водоносных пла­стов:

а-в напорном пласте, вблизи открытого водоема; б-в безнапорном пласте, вблизи карьера; в - в напорном пласте, вблизи несовершенной скважины; г-в безнапорном пласте, вблизи совершенной скважины

Не будем, однако, торопиться с выводами и построим для этих примеров сетки движения (считая движение ста­ционарным). Проще всего это сделать на профильных моделях из электропроводной бумаги. При анализе по­строенных сеток мы убеждаемся в одной общей особенно­сти: с удалением от границ области фильтрации линии равных напоров становятся все ближе к вертикалям, а линии тока — к горизонталям; иначе говоря, фильтрация на удаленных от границ участках оказывается практиче­ски плановой. И эмпирически - на электрических моде­лях, и аналитически [27] можно показать, что даже в самых крайних случаях заметное проявление вертикаль­ных составляющих скорости в профильно однородных и изотропных пластах отмечается лишь на удалениях I х I от границ порядка мощности пласта. Итак, предпосылка о плановом характере фильтрации будет выполнена прак­тически всегда в области, где

Для профильно анизотропных пластов условия (2.50) принимают вид

Ixl > т VX/^7’ или Ixl >hVTT_x7к^ , (2.51)

где к_хик_г — коэффициенты фильтрации вдоль и вкрест напластования.

ЗАДАЧА. Для того чтобы уяснить смысл множителя Vk_y/k_z в фор­мулах (2.51), преобразуйте уравнение фильтрации в анизотроп­ной среде (уравнение (2.7)) к уравнению движения в изотропном

> _ X , у пласте; для этого введите новые переменные: х = ——; у =

, _ Z

²

Как мы знаем, в гидрогеологии чаще всего приходится сталкиваться со структурами, площадное распростране­ние которых во много раз превышает их мощность. Это позволяет считать расчетную модель плановой фильтра­ции практически удовлетворительной в подавляющем большинстве случаев. Польза этой модели для нас несом­ненна: благодаря ей мы вместо реальной трехмерной кар­тины фильтрации рассматриваем более простую двухмер­ную картину (или вместо профильной двухмерной — одномерную); соответственно, в дифференциальных уравнениях устраняется одна из независимых простран­ственных переменных, что, как правило, заметно облег­чает аналитическое или модельное исследование.

Вместе с тем, можно ожидать, что для точек вблизи границ водоносного пласта (особенно несовершенных по степени вскрытия) применение модели плановой фильтра­ции потребует каких-то корректирующих процедур.