5. Элементы гидродинамики реальной жидкости

В реальной жидкости часть энергии потока должна тратиться на преодоление сил вязкого трения, т.е.

^и1 ^и2 ^hp\ + ^zi ⁺2^^>h_P2^+z2 + 2£’ (1.12)

где точка 1 расположена по течению выше, чем точка 2. Напорная поверхность понижается по направлению дви­жения (линия на рис. 4) тем сильнее, чем больше си­лы трения.

При медленных движениях неравенство (1.12) экви­валентно условияю

#,>Я₂, (1.12а)

т.е. гидростатический напор расходуется на преодоление сил вязкого трения и убывает по направлению движения, или, наоборот, необходимым условием движения жидко­сти является наличие перепада напоров.

ВОПРОСЫ. Куда движется вода на рис 1.5? Почему? В каком положении (1 или 2) одинаковые объемы жидкости V_Q обладают большей энергией?

Рис. 1.5. Схема к оценке изменения энергии фиксированного объема в движущейся жидкости

Проиллюстрируем сказанное на примере простейшей задачи для медленного параллельноструйного течения в круглой трубе (рис. 1.6). Рассмотрим в этом потоке дис­кообразный элемент жидкости радиуса г и толщиной b. Полная энергия жидкости в пределах выделенного объема при его перемещении из положения 1 до положения 2

убывает на величину МЛЯ, где М = я-р-г² *Ъ — масса жидкости; AH^ssH_l — Я₂. Эта потеря энергии обусловлена работой А_тр по преодолению сил вязкого трения f_mp на участке длиной I; согласно закону Ньютона (1.2)

^Атр ~fmp'I ^{= Ъ1}'^Г'^Ъ'¹ ’ (1.13)

так как радиус г направлен перпендикулярно к вектору скорости 77, площадь соприкосновения Q выделенного диска с соседними слоями равна 2я-г-Ъ, а знак минус

указывает, что скорость и падает с удалением от центра трубы: du/dr < 0. Итак, А_тр =M g AH, или

TC’p-r’b'g-AH = 2л-Г’Ь‘1.

Рис. 1.6. Схема к выводу формулы Гагена-Пуазейля

(1.14)

М

М

du

Введем величину градиента напора /, представляю­щую собой изменение напора на единицу длины пути: — дН 81 '

В нашем случае, ввиду неизменности конфигурации потока, величина /остается постоянной вдоль длины /, т.е.

Т A# гг ⁷

/ = -у Тогда

—p'gl'rdr = 2p'du (1.15)

есть дифференциальное уравнение движения, в котором скорость является функцией от г. Для его интегрирования

Рис. 1.7. Распределение ско­рости по поперечному сече­нию трубы

учтем, что на стенке трубы скорость равна нулю, т.е. и/_r-_R-0. Следовательно,

с^R ,°

-p-g'ljо r'dr = 2fil_u(r)du. (_1Л6)

Отсюда

„ -P'S'¹ ./р2_ _гг

^и 4ц '^{Л г}>' (1.17)

т.е. скорость и изменяется в зависимости от г по парабо­лической зависимости (рис. 1.7), причем максимальное значение скорости отмечается вдоль оси трубы (т.е. при г = 0):

„ -P'S'I'R²

4ц ’ (1.17а)

Суммарный расход жидкости Q в трубе определяется как объем тела вращения, разрез которого показан на рис. 1.7:

Q = 2л f_Q и г dr =7ip-gl f₀ (R²-rfr dr # ^{1 R} ;

(1.18)

выражение (1.18) — формула Гагена-Пуазейля.

Среднее значение скорости равно:

и =-Q - ¹ P'S'I'^{r2 ср} ж-R² 8 f¹ (1.19)

т.е. средняя скорость пропорциональна градиенту напора и квадрату радиуса трубы.

Отметим еще один важный в физическом отношении промежуточный результат:

mp _* тр

j _Ш™Р "Ф

(1.20)

('p'g'it'T^'b) ^0

т.е. при параллельноструйном движении градиент напора I пропорционален силам вязкого трения / , приходя­щимся на единицу объема движущейся жидкости.

Формула Гагена-Пуазейля свидетельствует о том, что движение в трубе имеет место при любом градиенте / > О, т.е. при наличии любого сколь-угодно малого перепада напоров между концами трубы. Опыты, однако, показы* вают, что в очень тонких трубках вода начинает переме­щаться лишь при достаточно большом перепаде напоров АН > АН_н> 0. Это объясняется тем, что в тонких капил­лярах вода ведет себя как вязкопластическое тело, обла­дающее некоторым сопротивлением сдвигу. Если величи­ну его, приходящуюся на единицу площади, обозначить через г₀, то закону вязкого трения (1.2а) отвечает закон вязкопластического течения

(1.21)

согласно которому движение возникает лишь при условии I г I > I т₀1, где г — касательное напряжение.

Рассмотрим объем жидкости в тонкой трубке (рис. 1.8). Справа напор равен Я₂, слева Я₁ > Я₂. Тогда равно­действующая гидростатических сил F, приложенных к левому и правому сечениям, равна p-g-(H_l — Я₂)-я- R¹и

направлена слева направо. Движению воды под влиянием силы ^препятствуют силы сопротивления сдвигу, распре­деленные по боковой поверхности, —/_с =r₀-2it R L Та­ким образом, движение жидкости начнется при f_c< F, а условие предельного равновесия имеет вид f_c ~ F.

Рис. 1.8. Схема к определению начального градиента Отсюда получим

« P’g'R ’ (1.22)

где 1_Н — начальный градиент, т.е. минимальный гради­ент, при котором начинается движение.

Согласно экспериментам, для воды x_q «10 ⁴Па [4 ]. Тогда

_2-10~⁶ « R ’

где R выражается в сантиметрах. Для трубки радиусом R * 1 мкм = 10' см (такому радиусу отвечают, кстати/размеры пор в глинистых породах) 1_Н = 0,02, т.е. начальный градиент вполне ощутим. Вместе с тем, величина / сильно мняется с температурой: при росте темпе­ратуры от 15 до 60°С значение T_Q, а следовательно, и начального

градиента падает почти на порядок [4}.