3. Решение задач двухмерной установившейся

фильтрации на основе принципа сложения течений

Рассмотрев простейшие одномерные задачи, мы по­путно уяснили многие важные физические аспекты пла­новой стационарной фильтрации в целом. Однако в том, что касается математических методов исследования, арсе­нал наш был пока весьма скромным, так как одномерная постановка задач позволяла достичь их решения довольно элементарными средствами. Теперь мы перейдем к более сложным для аналитического исследования двухмерным задачам плановой фильтрации, которые потребуют для своего решения развития специально ориентированных, достаточно общих и гибких методов. Среди аналитиче­ских методов мы упомянем здесь в первую очередь метод (принцип) сложения течений, особенно эффективный в свете необходимости расчета систем скважин.

Рассмотрим общее двумерное уравнение плановой стационарной фильтрации в виде

д /гр дН\ д /гр дН\

дх ( дх) ду ( ду) ¹ (3.41)

Конкретный выбор этого уравнения из всех рассмот­ренных в разделе 2.3 не принципиален: важно лишь, что­бы это уравнение было линейным (параметры Т и е не зависят от Н).

Пусть #j (х, у) и #₂(х, у) — две функции, удовлетво­ряющие этому уравнению. Тогда легко показать, что функция Н₃(х, у) = Я₁ (х, у) + #₂Ос, у) также удовлетво­ряет этому уравнению (сделайте самостоятельно). Это положение известно в математической физике как прин­цип суперпозиции.

ПРИМЕР. Пусть в некотором водоносном горизонте задано ес­тественной распределение напоров # (х, у). Оно подчиняется урав­нению (3.41):

^(4^)⁺f,(^r'5)^+£=°-

Вычитая из первого уравнения второе, получаем:

Под влиянием водозабора, эксплуатирующего этот горизонт, устанавливается новое распределение напоров HJx, у), которое по- прежнему удовлетворяет общему уравнению (3.41):

где

S(x,y)=H_e — H_H (3.43)

— понижение напора (3.43)

В этом примере использование принципа суперпозиции позво­лило исключить из уравнения инфильтдацию и тем самым упростить математическую формулировку задачи . Физически это вполне объ­яснимо: инфильтрационное питание находит свое независимое отра­жение как в исходном, так и в нарушенном распределении напоров, и поэтому разность напоров оказывается не зависящей от инфильт­рации. Здесь очень важным было предположение, что инфильтрация при работе водозабора остается той же, что и в естественных услови­ях (линейность процесса и, соответственно, дифференциального уравнения).

Развивая идею независимого действия факторов, вли­яющих на фильтрационный процесс, сформулируем ее для системы водопонижающих скважин: возмущение на­пора в пласте, обусловленное одновременной работой группы скважин, равно сумме возмущений, вызванных каждой скважиной. Отсюда естественно, что примени­тельно к нашим задачам принцип суперпозиции'может быть назван принципом сложения течений. Будем далее развивать его на примере систем скважин.

В неограниченном пласте с исходной горизонтальной пьезометрической поверхностью распределение напоров вблизи одиночной скважины — осесимметричное, т.е.

описывается логарифмической зависимостью (3.31). Так как выражение (3.31) удовлетворяет и общему уравне­нию (3.41), то, согласно принципу суперпозии, ему удов­летворяет также сумма:

^Я(*’ ⁼ 2'jfT. &<*^{ln r}‘ ^{+ C}« ’ (3.44)

где n — число скважин;

ri — расстояние от i-ой скважины до точки,

в которой ищется напор Я;

п

С_п = X С- — константа, зависящая от условий на сква- / = 1

жинах.

Выражение (3.44) является общим решением задачи о работе группы скважин в неограниченном изолирован­ном напорном пласте.

ЗАМЕЧАНИЕ. Обратим внимание, что сама по себе формула (3.44) является, в определенном смысле, математической абстрак­цией; она относится к стационарному режиму движения, а таковой в неограниченном изолированном пласте наступить не может (если все скважины отбирают воду, т.е. Q_d > 0). Это, однако, не помешает нам вывести на ее основе другие зависимости, имеющие конкретное фи­зическое содержание.

+ С '

(3.45)

Аналогично, из формулы (3.39) для одиночной скважины следу­ет общее решение для группы скважин в напорном пласте с перете­канием:

j =1 V^й/

Например, для двух скважин с одинаковыми расходами и ради­усами

Постоянную С2 райдем из условия: Н ~ Н_£ на стенке фильтра

первой скважины (г₍ * г,, г₂ * / — r_£~ 1, ще 1 — расстояние между скважинами):

Н(х, у)—Я

В отличие от формулы (3.44), зависимость (3.45) отвечает реаль­ной физической картине и при Q_ci > 0, так как в данной задаче возможно наступление стационарного режима за счет перетекания.

Итак

ЗАМЕЧАНИЕ. Сделанное выше предположение о горизонталь­ности исходной поверхности напоров не является принципиальным: его можно устранить, записывая соответствующие формулы в пони­жениях, отсчитанных от исходных уровней.

Формула (3.44) является исходной для решения ши­рокого круга задач.

пример. Задача о скважине вблизи реки.

На рис. 3.10,а изображена скважина, работающая с расходом Q_c в полуограниченном напорном пласте. Гра­ницей слева служит контур реки, на котором задано усло­вие первого рода: Я = Н₀ = const.

Для решения этой задачи, оказывается, также можно применить формулу (3.44). С этой целью рассмотрим сначала вспомогательную задачу (см. рис. 3.10,6): две скважины в неограниченном напорном пласте с первона­чальным напором Н₀ расположены на расстоянии 21 друг от друга. Из правой скважины откачивают воду с расхо­дом Q_c, в левую нагнетается тот же расход (или, формаль­но, ее расход Q = —Q_c). Так как пласт неограничен, то воспользуемся формулой (3.44):

Я(*, у)=Н_с- _t^Q-^c_:t (In г - In f) + С₂

a.

Рис. 3.10. Схемы к задаче о скважине вблизи реки: а - исходная схема; б - вспомогательная схема; 1 - расчетная точка

Постоянную С₂ найдем из условия Н - Н_с на стенке правой скважины:

Q г

с* — и In ^с

2 Ж'Т 21 —г_с'

Полагая г_с« 21, приходим к ршению вспомогательной задачи:

Q 21г

Н(х, у)=Н+ In —~т •

> ^с 2Л'Т г_С'Г (3.47)

В частности, на прямой АА’, проходящей посередине

Q 21

между скважинами (г = г'), #(0, у) = Н_с + -тг—тр In — =

Z JT" i

= const = Н₀ (последнее ясно из соображений симмет­рии).

Или, иначе:

а-

2лТ(Н₀-Н_с)

Ъ (21/г_с) ~ ’ (3.48)

Формулы (3.47) и (3.48) дают решение для вспомога­тельной схемы (см. рис. 3.10,6). А так как в этой схеме

напор по прямой АА' остается постоянным, равным Н₀, то решение вспомогательной задачи для точек, лежащих справа от АА' является и решением исходной задачи (см. рис. 3.10,а). Формально это следует из того, что в задачах решается одно и то же дифференциальное уравнение, для одной и той же области (если во вспомогательной задаче ограничиться рассмотрением области х 2:0), при одина­ковых граничных условиях. Тем самым соблюдены все необходимые условия однозначности решения.

Формула (3.48) известна как формула Форхгеймера. При выводе ее мы использовали фиктивный источник с расходом — Q_c, зеркально отраженный относительно гра­ницы пласта: источник этот оказывал в условиях неогра­ниченного пласта то же воздействие на все точки справа от оси АА', что и река в условиях полу ограниченного пласта (сказанное наглядно иллюстрируется линиями то­ка на рисунке). Этот расчетный прием (методотраже­ния) может рассматриваться как частный вариант метода сложения течений.

ВОПРОС. Как применить метод отражения в задаче о скважине вблизи непроницаемой прямолинейной границы? Чем эта задача принципиально отличается от предыдущей?

Аналогично — при граничных условиях первого рода — выво­дятся формулы для пласта с двумя параллельными границами (пласт-полоса) или для кругового пласта с эксцентрично располо­женной скважиной. Например, в последнем случае (рис. 3.11)

гя-т(н₀-н_с) ln[(r_jj²-'aV(^JV^rc)l (3.49)

Все формулы для расхода скважины имеют цри этом идентичную структуру, сходную с формулой Дюпюи

32. для скважины в центре кругового пласта:

2 Л’Т(Н-Н_Г)

InW/Tj ’ (3.50)

где R принимает различные значения в зависимости от конфи­гурации области фильтрации. Для скважины в центре круго­вого пласта R =R_d, для эксцентрично распо­ложенной скважины

W,

для скважины у реки R-21 и т.д. Величина R, как это можно по­казать, представляет собой среднеинтег­ральное расстояние от скважины до гра­ницы обеспеченного питания и может по­этому быть названа расчетным радиусом

, питания. Формула

Рис. 3.11. Схема скважины, расположен- а пн

ной эксцентрично в круговом пласте \o.j\J) В такой ОООО-

щенной трактовке широко используется в практическихрасчетах, причем не только для скважин, но и для горных выработок; в послед­нем случае г_с заменяется на приведенный радиус выработ­ки г₀ (обычно за г₀ можно принимать радиус круга, равно­великого площади выработки), и выражение (3.50) име­нуется тогда формулой большого колодца. Заметим, что для реализации способа большого колодца удаление вы­работки (5 от границы пласта не должно быть слишком малым <5 > 2г₀.

Заканчивая изложение принципа сложения течений для сква­жин, заметим, что решения различных задач такого рода отыскива­ются обычно не в напорах, а в понижениях S от естественного уровня — по причинам, уже частично изложенным ранее (в частности, тем самым автоматически учитываются естественное питание по площа­ди и исходный уклон потока). При этом в понижениях должны быть записаны не только исходные уравнения, но и граничные условия. В этом смысле условия на скважине имеют свою специфику. Если заданным является расход скважины — граничное условие второго рода вида (2.45), — то оно сохраняется и в понижениях. Действитель­но, если 5 * Я, — Н (Н_е — напор в естественных условиях), то

дН_е ън_е

так как в естественных условиях величина мала (~^у~ — 1_е> где 1_е — градиент естественного потока) в сравнении с градиентом на

(заметим, что, точнее говоря, записан-

стенке скважин

. or , _

\ !т-т_с

ное равенство справедливо в среднеинтегральном смысле: это легко доказывается интегрированием значений градиента вдоль контура скважины).

Итак, условие на скважине по-прежнему остается условием вто­рого рода

dr _ гл-г-л

К I г — г. ^с

(dS\ Q_c

с (3.51)

в которое входят лишь величины, относящиеся к данной скважине. Хуже обстоит дело со скважинами, работающими с заданным напо­ром #_с, т.е. при граничном условии первого рода Я * Н_с - const. Переписанное в понижениях, оно принимает вид

H_e-H_c=s_c = s, +s₂ + ...+s_i+s_n, ,3.52)

где S_i — понижение в точке расположения данной скважины, обусловленное действием г'-ой скважины.

Иначе говоря, в граничном условии должна учитываться допол­нительная «срезка» уровней, обусловленная действием других сква­жин и априорно неизвестная. Поэтому приходится, используя прин­цип сложения течений, записать уравнение вида (3.52) для всех п скважин, подставляя в них вместо S_i выражения типа (3.44), решить полученную систему уравнений относительно неизвестных расходов скважин Q_d, а уже затем вести расчет как для скважин с заданными расходами.

В заключение еще раз подчеркнем, что принцип су­перпозиции предполагает линейность исходных уравне­ний и граничных условий, для нелинейных задач он не­пригоден (например, для задач, описываемых уравнением Буссинеска (2.32)).