3. О возможностях распространения решений

одномерных задач на двухмерные плановые поток

Полученные решения одномерных задач можно в ряде случаев эффективно обобщить применительно к двух­мерным потокам. Так, для расчетов систем скважин в этих целях используется прежде всего принцип сложения те­чений (см. раздел 3.3). При заданных расходах скважин их совместный эффект оценивают простым суммировани­ем понижений, определяемых для каждой скважины по формуле (4.28) или по производным от нее формулам для ограниченных пластов, получаемым методом отражения (см., например, задачу о скважине вблизи непроницаемо­го контура в разделе 4.1.2). Для скважин с заданными уровнями методика расчета усложняется по причинам, отраженным в разделе 3.3.

Двухмерность потока (если она заметно проявляется лишь на локальных его участках) учитывают с помощью метода эквивалентных фильтрационных сопротивлений (см. раздел 3.4). Он оказывается справедливым в той же трактовке, что и для стационарных задач, если зона воз­мущения (длина нестационарного потока) перекрывает размеры участка локальных деформаций. Например, ре­шения для несовершенных выработок и скважин нетрудно получить из приведенных выше решений для совершен­ных границ — путем добавления в них соответствующих

фильтрационных сопротивлений на несовершенство, оп­ределяемых, как в стационарном случае (см. раздел 3.4).

В частности, аналогично формуле (3.71) для несовершенных выработок в стационарном потоке, обобщающей формулу (3.32), можно распространить приближенную формулу (4.36) на несовер­шенные скважины:

1ЛТ S_c

—г ^ъ (4.39)

'с

где £ имеет то же значение, что и в формуле (3.71).

В целом же, однако, трудности аналитического реше­ния нестационарных задач, с которыми мы столкнулись при изучении приведенных простейших примеров, при переходе к двухмерным потокам существенно возраста­ют. Наряду с обращением к моделированию (см. раздел 4.3) это заставляет отыскивать приближенные (инженер­ные) приемы, позволяющие свести двухмерные задачи к одномерным. В основе их чаще всего лежит разделение (фрагментация) потока вдоль линий тока.

При исследовании многих двухмерных задач было за­мечено, что через какое-то время после начального воз­мущения пласта положение линий тока мало меняется в пространстве. Исходя из этого можно приближенно счи­тать, что линии тока нестационарного и стационарного потоков (по крайней мере, при одних и тех же граничных условиях) мало отклоняются друг от друга. Тогда, по­строив линии тока для соответствующего стационарного случая (например, на модели из электропроводной бума­ги), можно далее рассчитывать нестационарный поток изолированно в пределах каждой ленты тока, ограничен­ной парой выделенных линий тока. Такой прием получил название метода недеформируемых линий тока (HJIT) [1].

Дальнейший расчет для каждой ленты тока (рис. 4.6) ведется в предположении, что характеристики нестационарного потока (напо­ры, скорости) зависят только от одной пространственной координаты

I, отсчитываемой вдоль оси ленты:

Н - H(l, t). При этом, конечно, учитывается и изменение ширины ленты ftXt). Тогда оказывается возможным использование как различных аналитических при­емов, так и моделирования, но уже не в двухмерной, а в упро­щенной одномерной постановке.

Пусть, например, мы имеем дело с задачей о расчете водопри- тока к горной выработке, на кото­рой происходит быстрое (мгно­венное) снижение напора (часть контура АВ этой выработки отве­чает на выделенной ленте границе Рис. 4.6. Схема расчета неста- I = 0). Постепенное распростране- ционарной фильтрации в пре­ние возмущения вдоль ленты во оелах ленты тока времени можно учесть, восполь­зовавшись найденным ранее выражением (4.38) для расчетного ра­диуса влияния, которое, как мы недавно выяснили, может считаться не зависящим от геометрии линий тока (рассчитанные на ряд момен­тов времени t. значения R(t.) показаны на рис. 4.6). Конечное значе­ние R(t) отвечает положению контура реки CD. Определяем далее фильтрационные сопротивления Ф(*.) участков ленты в интервалах [0, R( t.) ], для чего проще всего измерить электрические сопротивле­ния кусков электроповодящей бумаги соответствующей конфигура­ции. Расход потока Q(t.) в пределах ленты на момент tj определится, согласно формуле (3.53), соотношением:

где А Н (7_;) — разность напоров между границами участка ленты длиной R( t_t).

Если границей ленты (/ “ 0) является не горная выработка, а линейный контур скважин, то можно предварительно воспользовать­ся методом эквивалентных фильтрационных сопротивлений (см. раздел 3.4), который становится справедливым, как только расчет­ный размер зоны влияния контура превысит расстояние О между скважинами, что следует непосредственно из обоснованного нами ранее (см. раздел 3.4) условия применимости метода эквивалентных фильтрационных сопротивлений. Согласно формуле (4.38), это мож­но считать справедливым при

ще t — время от начала возмущения.

В целом, однако, изложенный здесь способ фрагментации двух­мерного планового потока является весьма приближенным и не уни­версальным , что вынуждает на практике обращаться к моделирова­нию (см. раздел 4.3) в двухмерной постановке.