2. Построение основных дифференциальных уравнений геофильтрации и математические основы моделирования фильтрационных процессов

1. Дифференциальные представления исходных физических закономерностей

В основу построения математической теории движе­ния подземных вод должны, очевидно, лечь фундамен­тальные физические закономерности (частично уже отра­женные в гл. 1), которые могут быть формально представ­лены в виде некоторых — определяющих — уравнений. Первой из таких закономерностей является уравне­ние движения —- связь между потерей энергии и работой сил сопротивления, которая, как мы видели, для широко­го круга условий выражается законом Дарси (в диффе­ренциальной форме). Если бы мы учитывали в своей тео­рии и перемещения твердой фазы, то должны были бы записать уравнение движения и для минерального скеле­та.

Далее следуют уравнения состояния, отражающие возможный характер изменений физических свойств изу­чаемой нами среды по ходу фильтрационного процесса. К уравнениям состояния могут быть отнесены закон Гука

34. , отражающий зависимость плотности воды от гид­ростатического давления, и компрессионное уравнение

35. , описывающее связь пористости с эффективным давлением. В частных случаях несжимаемых фаз эти уравнения состояния принимают вид р = const и п = const.

Наконец, есть еще одна важнейшая закономерность (мы пока еще ее не касались) — условие сохранения массы жидкости, которое может быть выражено в матема­тической форме уравнением неразрывности. Для выво­да этого уравнения выделим в напорном водоносном ком-

л

У ' У*

>

у

'Ф

77Т7777Г

плексе некоторый малый элемент — кубик с ребра­ми dx, dy, dz (рис. 2.6,а) и составим баланс жидко­сти для этого элемента за некоторый малый отре­зок времени dt. Через за­днюю грань кубика выте- кает масса жидкости дМ_х =p-v_xdy dz dt, где v_x — составляющая ско­рости фильтрации в на­правлении оси х. Интен­сивность изменения мас­совой скорости pv_x при перемещении частиц в направлении х выражает­ся частной производнй

д (p'V ) Рис. 2.6. Схемы к выводу уравнений

—-—~ и, следовательно, неразрывности для напорного пла-

д х ста:

на отрезке dx ОТ задней я * общий случай; б - плановая фильтрация

грани до передней — мае- _г

dx\ че-

d(p-v_x)

совая скоростьр • v_x получит приращение —^—

рез переднюю грань из в^убика уходит масса жидкости

д (p-v_x)

^ ^{х) J}- dy dz dt.

pv_x +

dx

дМУ =

дх

Итак; разница между массами жидкости, вошедшей в кубик через заднюю грань и вытекшей из него через переднюю, равна

d(P'V_x)

(2.1)

dM=dMJ -дМУ = -

—г dx dy dz dt.

дх

Проводя аналогичные операции для направлений у и х, получаем разницу между массами вошедшей в кубик жидкости и вытекшей из него:

d(p-v_z)

dM =

— H -—X- н dx dy dt. ,ni «4

d x dy dz ^J (2.2)

Очевидно, что разница масс dM либо накапливается в пределах кубика (если dM положительна), либо получа­ется за счет уменьшения упругих запасов жидкости в нем (если dM отрицательна). Упомянутые упругие запасы, очевидно, равны дМ ~р-п dx dydz, а скорость из изме­нения во времени определяется частной производной

Следовательно, изменение упругих запасов жид­кости в кубике за время dt равно:

dM dx dy dz dt . ^ 3)

Приравнивая выражения (2.2) и (2.3), получим после сокращения

^dJ>:^v2 ._{= 0}

dx dy dz dt ' (2.4)

Это и есть конечное уравнение неразрывности.

замечание. Обратим внимание, что данный здесь вы­вод уравнения неразрывности можно без изменений по­вторить для расчетного элемента планового потока, вы­сотой т и площадью dx dy в пределах напорного пласта (см. рис. 2.6,6). При этом будет получено уравнение

д(р т -у_х) д (p m v_v) .

дх ду St (2.5)

где оси х и у лежат в плоскости напластования; т — мощность пласта; расходы жидкости

через верхнюю и нижнюю грани расчет­ного элемента (а следовательно, и чле­ны уравнения неразрывности, отвечаю­щие координате z) здесь равны нулю.

ЗАДАЧА. Подумайте, почему полностью идентичный вывод уравнения неразрывности для безнапорного пласта окажется некор­ректным (для ответа на этот вопрос вспомните о процессах, сопро­вождающих изменение во времени положения депрессионной повер­хности) .

Перечисленные здесь исходные закономерности об­разуют системы определяющих уравнений, из которых можно получить результирующие (т.е. объединяющие всю информацию о процессе) дифференциальные урав­нения фильтрации, содержащие в качестве единственной неизвестно (искомой) функции напор Н; в общем случае функция Н зависит от трех пространственных координат и от времени: H=f(x, у, z, t). Коэффициентами и свобод­ными членами в этих уравнениях могут служить, в част­ности, гидрогеологические (фильтрационные) параметры (см. раздел 1.6) и показатели интенсивности питания или разгрузки потока.

Начинать представление дифференциальных уравне­ний фильтрации следует, естественно, с простейших гид­рогеологических условий; согласно проведенной в разде­ле 2.1 типизации расчетных моделей, таковыми являются условия движения в изолированном напорном пласте, в котором отсутствует дополнительное площадное питание и не проявляется гравитационная емкость.