5. Физические основы моделирования геофильтрационных процессов

Моделирование является неотъемлемым элементом исследования любого относительно сложного физическо­го процесса. Объясняется это тем, что полное аналитиче­ское описание такого процесса с соблюдением всех его особенностей оказывается задачей весьма трудной или вообще невыполнимой. На модели же часто удается пол­учить характеристику процесса относительно просто, проконтролировав в то же время точность получаемых результатов. Более того, сейчас моделирование все шире используется и для исследования процессов, сама физи­ческая сущность которых становится ясной лишь в ре­зультате моделирования.

Под моделированием в широком значении этого слова понимается описание какого-то явления через его образ, эквивалентный исходному явлению (прототипу) в неко­тором смысле. Предполагается, что изучая образ, можно получить тем самым характеристику исследуемого явле­ния — по крайней мере в рамках принятых представлений об эквивалентности. Эффективность моделирования бу­дет, конечно, решающим образом зависеть от того, на­сколько глубоки и обоснованы упомянутые представле­ния. В этом плане, согласно теории подобия, основным условием, допускающим такой пересчет от одного про­цесса к другому, является равенство всех возможных вза­имно независимых безразмерных комбинаций их харак­теристик; эти комбинации получили название критериев подобия. Основное место в теории подобия занимает л - теорема («пи-теорема»), утверждающая, что максималь­ное число таких комбинаций для процесса, описываемого п размерными величинами, равно п-к, где к — число независимых размерностей (массы, длины, времени и т.п.), участвующих в описании процесса. Так, если в фи­зической системе единиц размерности физических вели­чин могут быть выражены через единицы массы М, длины L и времени Т, то к < 3.

ПРИМЕР [34}. Найти структуру безразмерного критерия, отве­чающего критической скорости и перехода от ламинарного течения жидкости в круглой трубе к турбулентному. Согласно изложенному в разделе 1.1, на характер течения влияют: 1) радиус трубы R, име­ющий размерност¹^ длины [L]; 2) плотность жидкости р, имеющая размерность [M/L ]; 3) вязкость жидкости, которая отражается ко­эффициентом р, имеющим размерность [М/ (LT) ]. Следовательно,

и=/(Д,р,р). (1.72)

Так как число характеристик изучаемого процесса равно четы­рем CR,p, [А, и), а число независимыхразмерностей — трем (М, L, Т), то согласно л — теореме возможна лишь одна независимая безраз­мерная комбинация, вытекающая из представления зависимости (1.72) в виде

(1.73)

правой и левой частей этого уравнения:

и=с-Я^арР'цУ (1.72a)

где с, <2, Д у— некоторые безразмерные константы.

Показатели <2, /3, унайдем из условия одинаковых размерностей

откуда у = 1, /3=—1, /^ = —1, и зависимость (1.72а) принимает вид:

“^=срТг- <1.74)

Отсюда получаем искомую безразмерную комбинацию —,

г

или

2u-p-R ₌ 2с = Re

ц «ър» (1.75)

введенную нами ранее (см. раздел 1.6) как число Рейнольдса.

Полученный результат следует понимать и в том смысле, что два различных течения в круглой трубе подобны по режиму движения,

2р_х 'и_х 'R_x

если для них равны безразмерные комбинации: у.—— =

3°2^М2^Л2 _л ^ 2‘U'fiR

= _г. —. Поэтому комбинацию jf—■ = Ке можно рассмат-

f*2 “

ривать как критерий подобия (в частности, допускающий моделиро­вание одного течения другим).

В рамках данного выше определения подобие может устанавливаться:

р~1 применительно к одному и тому же физическому процессу, изучаемому, однако, при различных геометрических характеристиках прототипа и модели (физическое подобие);

I 2 I применительно к процессам различной физиче­ской природы, но описываемых аналогичными физико- математическими закономерностями, выражающими об­щие принципы сохранения массы, энергии, количества движения и т.п. В первом случае говорят о физическом, а во втором — об аналоговом моделировании, которое мо­жет считаться разновидностью математического моде­лирования; к последнему относится и численное модели­рование — исследование дифференциальных уравнений процесса на ЭВМ (в этом последнем варианте моделиро­вание сводится, в конечном счете, к решению систем ал­гебраических уравнений без каких-либо физических па­раллелей с изучаемым процессом).

Простейшим примером физической модели в дина­мике подземных вод является фильтрационный лоток, заполненный тем же фильтрующим материалом, что и изучаемый водоносный комплекс, и характеризующийся теми же геометрическими пропорциями. На такой модели успешно изучались некоторые сложные проблемы дина­мики подземных вод, связанные, в частности, с перемеще­нием границы раздела вод разного состава. Напомним, что и сам закон Дарси был получен, по сути дела, на базе физической модели. Очевидным преимуществом модели­рования в фильтрационном лотке является физическая наглядность, «осязаемость» модели. Кроме того, пред­ставляется, что на такой модели проще всего соблюсти критерии подобия (хотя бы потому, что моделирование ведется в физической среде, идентичной водоносному пласту); оказывается, однако, что часто это совсем не так.

Одним из факторов, определяющих недостатки моде­лирования в фильтрационном лотке, является сильное искажающее влияние капиллярных эффектов. Так, учи­тывая вертикальный масштаб лотка, высота капиллярного поднятия в модели оказывается непропорционально большой в сравнении с природными условиями. Это ме­няет характер напряженного состояния пород в лотке и завышает расход потока в пределах капиллярной каймы. Другой важнейший момент — трудности контроля за од­нородностью модельного грунта или соблюдения иден­тичности в сложении исходного и модельного материала. Наконец, в лотках практически невозможно воспроизво­дить сложные геометрические очертания границ модели­руемого пласта, контактов зон фильтрационной неодно­родности и т.п.

По этой причине физические модели применяются в динамике подземных вод довольно ограниченно: чаще всего их используют на ранних стадиях изучения того или иного процесса — для уяснения качественных физиче­ских представлений о нем и для количественного обосно­вания исходных гипотетических представлений.

Гораздо более широкое распространение получило аналоговое моделирование [6, 7, 14], для чего использо­вались гидравлическая аналогия (подобие фильтрации и движения жидкости в тонких капиллярных трубках), вяз­кожидкостная аналогия (подобие фильтрации и течения вязкой жидкости в тонкой щели) и др. Однако в реальной практике в подавляющем большинстве случаев исполь­зовалось электрическое аналоговое моделирование*, обес­печивающее технически наиболее совершенные модели (доступные, простые и безотказные в работе, позволяю­щие гибко участь различные осложняющие факторы, практически не реагирующие на изменение внешних - температурных и других условий, обеспечивающие высо­кую точность конечного результата).

Электрическое моделирование базируется на подобии фильтрационного потока и электрического поля. Так, сплошные модели из электропроводящей бумаги или растворов электролитов, основанные на электрогидроди- намической аналогии (ЭГДА), широко применялись не­сколько десятилетий. Аналогия в данном случае наиболее ясно выявляется из основных законов движения: закона Дарси

Q = к -о)—у — для подземных вод

и закона Ома

— для электрического тока,

(1.77)

где / и A U — соответственно, сила тока и разность элек

С

О).

м

трических потенциалов;

удельная проводимость материала модель

площадь поперечного сечения модели, со

Основы его были заложены Н.Н.Павловским.

ответствующая аналогичной площади пото­ка со (считаем их пока неизменными);

1_М — длина элемента модели, отвечающая длине

элемента потока /.

Введем масштабы расхода (czq = ^, проницаемости

(а_к = ^, напоров (а_н = и геометрический масштаб

fa_t = - VWa)^\. Заменим теперь в законе Дарси филь-

' м '

трационные характеристики на аналогичные характери­стики электрического поля с масштабными коэффициен­тами:

_/=^^а«.._с._й, ш

^aQ ^м 1_М '

Таким образом, если

₌«

^aQ ’ (1.78)

то (1.76) идентично (1.77), что и выявляет подобие про­цессов, причем (1.78) —необходимый критерий подобия. Из него следует, что три из четырех масштабных коэффи­циентов можно назначать произвольно, исходя из техни­ческих соображений.

Итак, при моделировании следует строить модель ге­ометрически подобной области фильтрации и задавать

удельные сопротивления модели р = ^ обратно пропор­циональными коэффициентам фильтрации.

Масштаб напоров удобно выбрать, исходя из равенст­ва

_ ^^тах

““-"5177’ (1.79)

где А #_тах = Я_тах - Н_тт — максимальная разница напо­ров, которой соответствует

максимальная разница потен­циалов (напряжение) на моде ли Д U_M.

Если ввести относительный потенциал ■7 At/ _ V - t/„_in Я - Я„,„

я„,_х - ’ ₍₁.₈₀)

то точке на модели в потенциалом U будет отвечать вели­чина Я = Я_ш1п + Д Я напора,

где

^{АН =} (^Я_Иах -^Нтт)'й- (1.81)

Таким образом, после составления модели на границы с заданными напорами подаются потенциалы согласно формуле (1.80), а на границы с заданными расходами подается сила тока — согласно масштабному коэффици­енту a_Q (см. формулу (1.78)). После этого замеряют по­тенциалы в отдельных точках области и пересчитывают их в напоры по формуле (1.81).

Однако описанные здесь в общих чертах сплошные электрические модели позволяют исследовать лишь огра­ниченный круг задач динамики подземных вод. Объясня­ется это тем, что подобие уравнений движения (в нашем случае закона Дарси и закона Ома) является лишь необ­ходимым, но не достаточным условием аналогии, лежа­щей в основе электромоделирования фильтрационных процессов. Для полной аналогии должна отмечаться эк­вивалентность и других важнейших физических законо­мерностей, отраженных в уравнениях неразрывности и состояния (см. раздел 2.2). В конечном счете, необходи­мым и достаточным условием искомой нами аналогии между двумя процессами является математическая экви­валентность результирующих дифференциальных урав­нений этих процессов и краевых условий (математиче­ский изоморфизм). В этом смысле более гибкими и эф­фективными являются электромодели с дискретным представлением пространства, реализуемые на сетках электрических сопротивлений (см. раздел 3.5).

В заключение несколько слов по поводу сопоставле­ния двух видов математического моделирования — ана­логового и численного, реализуемого на ЭВМ. В настоя­щее время грань между ними существенно стерлась; на­пример, мы увидим далее, что отдельные разновидности электрических моделей далеко отошли от физической аналогии с фильтрационным процессом и превратились, по сути дела, в специализированные вычислительные ус­тройства. Различия между аналоговыми и численными моделями заключаются скорее всего в том, что первые измеряют некоторые физические величины (напряжение, сопротивление и пр.), а вторые — непосредственно вы­числяют. В этом плане, важным преимуществом аналого­вых моделей является их физическая наглядность, позво­ляющая исполнителю относительно просто взаимодейст­вовать с моделью, контролировать процесс моделирова­ния и вносить в него коррективы по ходу моделирования. В целом, однако, наиболее мощным и перспективным методом исследования задач динамики подземных вод является численное моделирование на ЭВМ.

Контрольные вопросы

ГЛ Что такое гидростатический напор? Чем это понятие отли­чается от понятия «гидростатическое давление»? К чему относят напор: к точке, к площади, к объему?

|2| Что понимается под термином «идеальная жидкость»? Как отразилась предпосылка об идеальном характере жидкости в уравне­нии Бернулли для стационарного движения в трубке тока?

[з] Чем отличается движение реальной жидкости от движения идеальной? Объясните понятие «градиент напора»; как связан гради­ент напора с силами сопротивления при движении жидкости?

[Tj Какие важные выводы можно сделать из формулы Гагена- Пуазейля? Проанализируйте выражение для средней скорости дви­жения воды в трубе. С какими ограничениями выведена формула Гагена-Пуазейля? Что такое начальный градиент?

[Т] Какие режимы движения могут отмечаться в свободной жидкости? Чем они характеризуются? Поясните ваши соображения графически. Что отражает критическое число Рейнольдса?

6 На что в основном тратится энергия при движении подз ем-

ных вод в пористой среде? Какие показатели характеризуют энергию

подземных вод и ее потери?

р7~| Какие виды воды являются предметом рассмотрения в кур­се динамики подземных вод? Возможен ли переход одного вида в

другой, при каких условиях?

VU* Д1|/Х1 J wtv/ипл ГК «

|8| Как вы понимаете предпосылку о сплошности среды при­менительно к водонасыщенным горным породам? Какие практиче­ские ограничения накладывает эта предпосылка на развиваемую

теорию?

(IT) Вспомните основное равенство подземной гидростатики и объясните механизм взаимодействия нейтральных и эффективных напряжений при изменении напоров в водонасыщенных горных по­родах. Что вы можете сказать о напряжениях в капиллярной кайме?

10 Какие виды емкости горных пород вы знаете? За счет чего они формируются? Какими показателями характеризуются? Как со­относятся гравитационная и упругая емкость в различных комплек­сах пород, в безнапорных водоносных пластах?

[П] Сформулируйте основной закон фильтрации. Запишите его в конечной и дифференциальной формах. Каковы ограничения на этот закон?

12 Скорость фильтрации — в чем ее отличие от действитель­ной скорости движения подземных вод? Почему возникла необходи­мость введения понятия скорости фильтрации?

Тз| Дайте определения коэффициента фильтрации и коэффи­циента проницаемости; как вы понимаете физический смысл э*их параметров?

[Й] Каков физический смысл понятия «гидродинамическое давление»? В чем его отличие от давления гидростатического? На какую систему напряжений — эффективных или нейтральных - ока­зывает влияние гидродинамическое давление?

[Tsj На каких физических предпосылках основано электриче­ское моделирование фильтрации? Продемонстрируйте формальное подобие законов Дарси и Ома.

[Тб| Каковы основные группы факторов, определяющих гидро­геологические условия движения подземных вод? Приведите приме­ры факторов геолого-структурного характера.

[l7j Конкретизируйте понятие «фильтрационные свойства гор­ных пород» (водоносных комплексов). Чем они количественно выра­жаются?

18 Осветите, к чему сводится содержание понятия «модель геофильтрационного потока»?