5. Процессы теплопереноса в подземных водах — общие представления и простейшие задачи

1. Об аналогии между процессами тепло- и массопереноса

При фильтрации в водоносных горизонтах подземные воды переносят не только растворенные в них вещества, но и тепловую энергию, причем, как и при миграции вещества, перенос идет конвективным и диффузионным путем. Последний, в случае теплопереноса, принято на­зывать кондукцией. Кондуктивный перенос, обусловлен­ный передачей тепла от нагретых участков пласта к отно­сительно холодным, подчиняется закону Фурье, подобно­му закону Фика (см. формулу (6.13)):

^{Qe X(0}dt’ (6.52)

где в — температура;

Qq — расход тепла;

А — коэффициент теплопроводности, характерные

значения его для горных пород достигают первых единиц Вт/ (м -К).

ЗАДАНИЕ. Аналогично выведенному нами ранее уравнению (6.21) для конвективно-дисперсионного переноса солей в однородном водоносном пласте получите уравнение конвективно-диффузионно­го теплопереноса. Считайте при этом, что потери тепла в окружаю­щие пласт породы пренебрежимо малы, а выравнивание температу­ры между фильтрующейся жидкостью и скелетом породы происходит

мгновенно. Используйте в выводе объемные теплоемкости породы С_п и фильтрующегося раствора С_&.

Запишем полученное уравнение теплопереноса в сле­дующем общепринятом виде:

c.|| _{+ c<}v|®-;l^₂,

”St ‘Эх ах²’ (6.53)

где в — текущая температура пласта.

Ему можно придать также иную форму:

дв _ _п д²в

Ив Л V $ э ’ /к ся\

0* дх (6.54)

где

_п _ Я _С_п _ ч С_с

⁶~ С, ' "«"с.. "⁺⁽¹ С_в ’ (6.55)

С_с — объемная теплоемкость минерального скелета.

ВОПРОСЫ. Каков физический смысл последнего выражения для П0? Какие выводы можно сделать из сравнения этой формулы и

выражения (6.11) для эффективной пористости?

Отсюда видно, что между уравнениями (6.21) и (6.54), описывающими массо- и теплоперенос в подзем­ных водах, существует формальная аналогия. В каждом из них имеются параметры, отражающие:

а) интенсивность конвективного переноса;

б) интенсивность дисперсионного (кондуктииного) переноса;

в) накопление массы вещества или тепловой энергии. «Массовым» коэффициентам — активной пористости п и гидродисперсии D соответствуют температурные аналоги, отражающие тепловую емкость п@ и дисперсию тепла Dq.

В гетерогенных системах интенсивность кондуктивного теплообмена между отдельными элементами неоднород­ности (хорошо- и слабопроницаемыми слоями или тре­щинами и блоками) характеризуется коэффициентами теплопроводности А, и температуропроводности

К

a_t — jr~', последнему соответствует «массовый» аналог -

ⁿi

отношение коэффициента молекулярной диффузии к по­ристости D_MJn_t, как это ясно при сопоставлении уравне­ний вида (6.21) и (6.53) приу = 0 (т.е. в случае отсутствия конвекцими).

Формальная аналогия между физическими парамет­рами, однако, не распространяется на соотношение их абсолютных величин. Так, например, для характерных значений коэффициентов теплопроводности песчано­глинистых и карбонатных горных пород ( А» 0,5*3,5 Вт/ (м К) и коэффициентов объемной теплоемкости во­ды и пласта (C_e »4,2 10⁶ Дж/(кгград), С_п» (3+3,7) 10⁶ Дж/ (кг град), коэффициенты термодисперсии Dq будут

находиться в пределах 0,01+0,08 м²/сут, а температуроп­роводности — 0,02+0,1 м²/сут; это на два-три порядка выше абсолютных значений их «массовых» аналогов.

Последнее обстоятельство резко меняет соотношение между конвективной и кондуктивной составляющими теплового потока по сравнению с процессом массопере­носа. Для схемы фильтрационного переноса тепла в гомо­генной среде (например, в однородном песчаном пласте) безразмерный параметр Пекле (см. 6.31) не превышает первых десятков единиц — для характерных условий опытных работ, что говорит о сопоставимости длины зоны рассеяния с общим продвижением вытеснения, в еще большей степени «размывание» фронта происходит при фильтрации в гетерогенных средах, где теплопередача осуществляется одновременно на различных уровнях.

ВОПРОС. Почему применительно к процессам теплопереноса чисто трещиноватые породы долёжны рассматриваться как гетеро­генные системы (в отличие от процессов массопереноса)?

2. Задачи о термометрии скважин

В последнее время термометрия гидрогеологических скважин широко используется для повышения информативности режимных наблюдений гидрогеологической направленности. Особенно эффек­тивно применение термометрии для оценки скоростей перетекания через слабопроницаемые разделяющие слои.

Пусть имеется два водоносных пласта, отделенный друг от друга толщей слабопроницаемых глинистых пород (рис. 6.15). Температу­ра в верхнем пласте вj заметро отличается от температуры нижнего

в₍₎. Напоры в пластах также существенно различны, в результате чего

имеет место перетекание через глинистую толщу с некоторой (неиз­вестной) скоростью v. Найдем решение, позволяющее определить v [39].

67

/у-

'/

/

/

/

/

У~~7 Т

Рис. 6. J5. Схема переноса тепла через относительно водоупорный

слой

Будем считать тепловой поток стационарным. Тогда, подобно выводу уравнения (6.54), получаем обыкновенное дифференциаль­ное уравнение второго порядка:

^Ce^v dd _ d²S

ТЖ

(6.56)

2*

d z

dd

Полагая, что =и и интегрируя, получаем

dO__n, \^Ce^vz\

dz ^{1 exp} [1 J *

Повторное интегрирование дает,

О = Cj exp --j + C2, где постоянные C_y и C₂ определяем из граничных условий

в I _ _Л = 6L 0 I _ = 0, .

j z — О О» |z—m ¹ Окончательно находим

_{й =} _ exp(C_evz/A)-l

^ -д₀ exp (C_e vm/A)'~ 1 • (_6<57)

Полученное решение используется на практике для определе­ния проницаемости разделяющих слоев по данным термометрии.

На рис. 6.15 показана типовая термограмма, отвечающая реше­нию (6.57): штриховой прямой линией дан график распределения температуры при отсутствии перетекания, когда водоносные слои взаимодействуют только за счет тепловой кондукции. По характеру отклонения термограммы от этой прямой можно судить о направле­нии перетекания: при вогнутой термограмме (рис. 6.15) оно направ­лено вниз, а при выпуклой — вверх. Скорость перетекания v нахо­дится из решения (6.57), после чего, зная перепад напоров между слоями, можно определить коэффициент фильтрации разделяющего слоя. При чувствительности термодатчиков около 0,01°С таким пу­тем оцениваются даже весьма малые скорости фильтрации — при­мерно 10'⁴+‘Ю'⁵ м/сут. Нужно, однако, сказать, что существенные ограничения на точность интерпретации термограмм налегает нео­днородность реальных разделяющих слоев, отражающаяся в измен­чивости по разрезу как скоростей фильтрации, так и коэффициентов теплопроводности А. Для прямой оценки коэффициентов теплопро­водности наряду с лабораторными испытаниями образцов можно ис­пользовать период «выстаивания» скважины, закрытой пробкой от теплообмена с поверхностью.

Еще одно полезное применение термометрии связано с опреде­лением скоростей фильтрации в водоносных слоях вблизи поверхно­стных водоемов (например, бассейнов промышленных стоков). За основу при этом принимают графики сезонных колебаний темпера­туры воды в бассейне и в .наблюдательной скважине, фильтр которой находится на глубине, превышающей мощность зоны сезонных коле­баний температуры подземных вод. В таком варианте изменения температуры воды в скважине связаны с фильтрацией из водоема.

Если считать, что определяющим фактором теплопереноса является конвекция (что обычно справедливо при скоростях фильтрации 0,1 м/сут и более), а кондуктивным оттоком тепла вверх и вниз от водоносного пласта можно пренебречь (схема одномерного теплопе­реноса, применимая для достаточно мощных — 10 м и более — пластов), то справедливо следующее соотношение, аналогичное фор­муле (6.1):

V — Пй v' = 7S- v'

^v с. (6.58)

или, приближенно, для характерного значения С_п/С_в 0,7,

v«0,7v', (6.58а)

где v' — скорость перемещения пика температурной волны вдоль пласта, определяемая по времени сдвига пиков сезонных колебаний температуры воды в бассейне и в скважине.

Например, при характерных для средней полосы амплитудах сезонных колебаний температуры воды в бассейнах 15°С таким пу­тем удается оценивать осредненные скорости фильтрации на приле­гающих к водоему участках шириной до 200 м. Преимуществом та кого способа определения скорости фильтраций является также его практическая независимость от степени кольматации дна водоема и (в отличие от резистивиметрии) от состояния фильтров скважины. Объясняется это тем, что сравнительно большие скорости диффузи­онного (кондуктивного) теплопереноса быстро выравнивают темпе­ратуры воды по обе стороны кольматирующей пленки или фильтра.