4. Элементы гидродинамики идеальной жидкости

Если выделить в жидкости некоторый малый объем, то движение его будет определяться воздействием:

объема;

1 сил гидростатического давления по поверхности

силы тяжести (вес выделенного объема жидко-

сти)

jTj сил вязкого трения, которые можно пока условно считать распределенными по поверхности выделенного объема;

|4 инерционных сил (подчиняющихся второму за- конуТГьютона);

упругих сил, определяемых сжимаемостью жид- костиГТак как детальное описание движения под воздей­ствием столь сложной системы сил сопряжено с серьезны­ми трудностями, то рассмотрим сначала упрощенную без- инерционную модель идеальной жидкости , т.е. несжи­маемой жидкости постоянной плотности, не обладающей вязкостью. Благодаря последнему допущению мы сумеем более ясно представить значение остальных сил — гидро­статических и гравитационных.

Для этого выделим в установившемся потоке идеаль­ной жидкости тонкую трубку тока (рис. 1.4), образующие которой являются линиями тока. Напомним, что каса­тельные к линии тока направлены вдоль вектора скорости в точке касания и что линии тока друг с другом не пересе­каются, т.е. выделенная трубка тока изолирована от ос­тальной части жидкости. Так как движение установивше­еся (элементы потока не зависят от времени), то трубка тока характеризуется неизменной конфигурацией, а мас­совый расход жидкости вдоль трубки не меняется от од­ного поперечного сечения к другому: в противном случае в потоке должны образовываться пустоты, что физически нереально, или сгущения, что противоречит идеальному характеру жидкости. Итак,р и д ш- const, где и — скоро­сть движения жидкости, которая в пределах поперечного сечения трубки д со может считаться неизменной вслед­ствие его малости. Будем, кроме того, полагать движение плавно изменяющимся, т.е. характеристики его меняются медленно и непрерывно.

Рис. 1.4. Трубка тока в идеальной жидкости

Если мы теперь мысленно выделим в жидкости малый объем д V и будем следить за его перемещением вдоль трубки тока, то, ввиду отсутствия сопротивления движе­нию и постоянства массы М$ув объеме д V (М^у—р-д V),

полная энергия жидкости в нем будет оставаться неизмен­ной во всех последовательно занимаемых им положениях: 3(5*, = const.

Полная энергия складывается из потенциальной и ки­нетической. Потенциальная энергия определяется в на­шем случае полями двух сил — гидростатических и гра­витационных, которые отражены величиной гидростати­ческого напора:

/ \ -*-+ Z

P'g

= MdVg-H =pgd V H =p-g-

•6V

(1.9)

Кинетическая энергия равна:

,2

гурт, ^M6V^U 1 _п ц2 A J/

^э<Гн ₂ -₂^p'^u'^6V (1.10)

Так как + Э^^т = = const

то

^+z+^=const _{п 1П}

P'g 2 g (1.11)

Величина и²/(2g) по аналогии с первыми двумя чле­нами в уравнении (1.11) именуется скоростной высотой h_u и отвечает дополнительному подъему воды в измери­тельной трубке (см. рис. 1.4), обусловленному скоростью потока.

Сумма H_u=h_p+z+h_u называется гидродинамическим напором и отражает, таким образом, полную энергию единицы веса движущейся жидкости. Уравнение (1.11), связанное с именем Бернулли, говорит о том, что для стационарного движения идеальной жидкости гидродина­мический напор в различных точках трубки тока является

одинаковым, т.е. поверхность напорных уровней гори­зонтальна (см. рис. 1.4).

ПРИМЕР. Оценим относительную роль скоростного напора при медленных течениях (со скоростями, имеющими порядок скоростей движения подземных вод V^. Известно, что значения V_& редко пре­восходят 1000 м/сут;. Следовательно, значения h обычно не превы­шают (1000:86400) /(2 ' 9,8) « 0,01 мм, т.е. они пренебрежимо малы.

Таким образом, при движении с малыми скоростями Н_и = Н и гидростатический напор практически может рассматривается как показатель полной энергии движу­щейся жидкости.