3. Исходные представления о схемах численного

моделирования нестационарной фильтрации на ЭВМ

Рассмотрим простейшее уравнение одномерной филь­трации (4.1) в конечно-разностной форме:

.Д?₊,-2Я*+Я*_

A t “ (Ал)² ' (4.75)

Пусть для исходного уравнения заданы граничные ус­ловия: Я (0, t) = Я = const, Н (L , f) ^т Н = const и начальное условие И (х, 0) = Й(х) (рис. 4.8). На выбран­ной конечно-разностной сетке краевые условия запишут­ся в виде

Н^к_я=Н_к Н°=П, (для ( > 0 ) ,

где нижний индекс i * 0 отвечает левой границе, a i-M — правой границе (М - Ы А х); верхний индекс к * 0 отве­чает начальному моменту времени.

Перепишем уравнение (4.75) в виде

Я?^+| = Я,*+ ——,(я*,, -2Я,*+ Я* .') ,

¹ (Дх)²1 ^{1+1 1} '7 (4.75а)

где в правой части стоят лишь значения напоров на £-ом временном слое. Положим к=0 и / = 1, тогда из уравнения

75. получаем формулу для расчета напора Н\ в первой узловой точке (т.е. для х * 1 -Ах) на первом временном слое (т.е. на момент t - 1 -A t):

Давая далее индексу i последующие значения (i = 2, 3, ..., М — 1), аналогично определяем все остальные значения Н. на первом временном слое.

Теперь положим в формуле (4.75а) к = 1 и переходим к расчету значений яДт втором временном слое (т.е. для t = 2-Л/), подставляя для этого в правую часть равенства (4.75а) уже известные нам значения Я.¹, определенные для первого временного слоя, и т.д. Так последовательно вы­полняется расчет до последнего N-го временного слоя, Отвечающего конечному расчетному моменту t_N(N'At =

Рассмотренная конечно-разностная схема, описывае­мая уравнениями (4.75), называется явной. Она позво­ляет выразить в явном виде неизвестное значение напора на расчетном временном слое через известные его значе­ния, рассчитанные на предыдущих временных слоях. Это

д^Н

оказывается возможным потому, что производную ₂в

дх

правой части исходного уравнения (4.75) мы выразили через значения напоров, отвечающие началу расчетного временного интервала (т.е. через напоры, отвечающие верхнему положению пьезометрической кривой на рас­смотренной на рис. 4.7а схеме).

На самом же деле, пьезометрическая кривая принима­ет за расчетный интервал времени A t множество последо­вательных положений от Я*до Я^⁺¹, и поэтому логиче­ские соображения никак не препятствуют и другому ва­рианту записи исходного уравнения:

ггЛ+1 тгк гтЛ+1 Л гг^+1 I гг^+1

где пространственная производная в правой части выра­жена через значения напоров, отвечающие концу расчет­ного временного интервала (т.е. через напоры, отвечаю­щие нижнему положению пьезометрической кривой на рис. 4.7а).

ЗАМЕЧАНИЕ. Обратите внимание, что аналогичное уравнение использовано при обосновании схемы Либмана (см. раздел 4.3.2).

Однако, в отличие от уравнения (4.75), уравнение

75. не позволяет явно выразить искомую величину

tff⁺¹ через значения предыдущего временного слоя:

определение #*⁺¹ становится возможным лишь после того, как мы запишем выражения вира (4.76) для всех узлов / = 1,2,..., М — 1 на к +1 -ом слое и решим получен­ную систему уравнений. С этой точки зрения конечно­разностная схема, описываемая уравнениями вида (4.76), получила название неявной.

Понятно, что и для человека, и для ЭВМ гораздо проще последовательно провести М однотипных расчетов по формуле (4.75а), чем решать систему из М уравнений. Поэтому, казалось бы, логически ясно, что всегда разум­нее считать по явной схеме, нежели по неявной. Однако с конечно-разностными схемами дело обстоит отнюдь не так просто. Они обладают специфическими свойствами, из-за недоучета которых подобные, внешне логичные рассуждения могут оказаться неприемлемыми. Для при­мера на рис. 4.9 приведены в схематизированном виде результаты расчетов одной и той же фундаментальной (см. раздел 4.1.1) задачи по явной и неявной схемам. По мере роста времени (числа временных шагов) неявное решение все теснее сближается с точным (построенным по аналитической зависимости (4.12)). Между тем, явное решение при том же, достаточно большом, временном шаге At ведет себя весьма неестественно: оно начинает постепенно «раскачиваться» и приводит к физически не-

* к.

При этом известными, кроме величин Н- с предыдущего временного слоя, яв­ляются граничные значения реальным результатам (например, оно дает положение уровня воды ниже подошвы водоносного горизонта). Что­бы понять такое поведение решения, нужно вспомнить, что разностные представления аппроксимируют произ­водные, входящие в исходное уравнение, приближенно и, следовательно, на каждом шаге вычислений в значения искомой функции (напора) вносятся какие-то погрешно­сти. Если в процессе вычислений по мере роста числа операций (в нашем случае — числа временных шагов) эти погрешности постепенно подавляют, гасят друг друга, то конечно-разностная схема является устойчивой и не может приводить к результатам, подобным кривой 2 на рис. 4.9. В противном же случае, когда идет накопление погрешностей в процессе счета, схема называется не­устойчивой. Ясно, что вести расчет можно только по устойчивым схемам.

Так вот, оказывается, что неявные схемы (в частности

76. ) устойчивы всегда (отсюда и отмеченная выше на­дежность схемы Либмана), в то время как для устойчивости явных схем необходимо вводить ограничения на шаг по времени A t. Например, схема (4.75) устойчива, если

a At 1

(4.77)

Рис. 4.9. Схематизированное представление результатов расчета фундаментальной фильтрационной задачи:

1 - данные расчета по неявной схеме; 2-то же, по явной схеме; 3 - точное аналитическое решение

причем при соблюдении этого условия результаты счета по явной схеме (4.75) сходятся к точному решению даже быстрее, чем при использовании неявной схемы (4.76) при тех же параметрах сетки Аде и A t.

Обратите внимание, что в условии (4.77) в знаменателе стоит

величина Аде?. Следовательно, увеличение дробности пространст­венной разбивки (уменьшение Ах) не обязательно приводит к росту точности вычислительной схемы (это еще раз показывает, что логику численных методов нельзя уяснить, отталкиваясь от одного лишь здравого смысла).

Выполнение условия (4.77) часто требует, однако, резкого увеличения числа временных шагов и объема расчетных операций в целом. Именно поэтому в практике моделирования на ЭВМ основное развитие получили не­явные схемы, а также смешанные - явно-неявные.

Простейшим примером явно-неявной схемы может служить следующее конечно-разностное представление уравнения (4.1), обобщающее схемы (4.75) и (4.76):

^г к I и к

н^к+1-н¹ *

- = а

— 2 Н?+ 7//+J

(1-е)

+

A t

(Ах)²

т,к+1 ^Hi+1

- 2 tff⁺¹ + Н^к+\

+ а

(Д xf

(4.78)

где а — весовой коэффициент (0 < а <1).

Схема (4.78) при а = 1 оказывается неявной, при а * О — явной, а при промежуточных значениях а —смешан­ной, явно-неявной. Теория и численные эксперименты показывают, что такие смешанные схемы могут вобрать в себя достоинства как явных, так и неявных схем. В част­ности, при а > 0,5 явно-неявная схема (4.78) всегда ус­тойчива (подобно неявной схеме (4.76)), но за счет нали­чия явного члена (при а & 1) она сходится к точному решению быстрее, чем схема (4.76) (иначе говоря, для достижения той же точности она требует меньшего числа временных шагов, а в конечном счете — наименьшего машинного времени).

ЗАМЕЧАНИЕ. Пространственная разбивка для рассмотренных здесь конечно-разностных уравнений назначается исходя из выбора элементов длины Ах, что при расчетах планово-неоднородных пла­стов может приводить к большим численным погрешностям. Поэто­му на практике проводят разбивку области фильтрации по фильтра­ционным сопротивлениям, аналогично схеме Либмана (см. раздел 4.3.2). Соответствующие расчетные схемы (см., нарример, уравне­ние (4.68)), получившие название консервативных , позволяют ве­сти счет фильтрационных задач при грубых пространственных сет­ках, т.е. при сравнительно небольшом числе пространственных узлов М. На практике большинство задач решается при числе М, не пре- вышающм 2500-3000.

До настоящего времени широкое внедрение числен­ного моделирования на ЭВМ в практику гидрогеологиче­ских расчетов сдерживается, в первую очередь, слабой подготовленностью специалистов-щдрогеологов в этой области. Можно, однако, не сомневаться, что кардиналь­ный сдвиг здесь уже отмечен и что в ближайшее время ЭВМ станут для гидрогеологов необходимым «рутинным» инструментом исследований

Контрольные вопросы

[Т] Опишите физическую картину осушения напорного пла­ста при быстром снижении уровней на одной из его границ до кровли пласта. Что принципиально меняется при снижении уровня до подо­швы пласта?

|~2~| В чем смысл и значение краевых условий фильтрации? Записать и объяснить краевые условия для фундаментальной задачи (о мгновенном снижении напоров подземных вод на границе пласта).

[~3] Для какой физической ситуации получено фундаменталь­ное решение нестационарной фильтрации? Можно ли им воспользо­ваться для описания безнапорной фильтрации? Как расширяются возможности применения этого решения благодаря принципу супер­позиции и методу недеформируемых лент тока?