2. Задача о плоскорадиальной фильтрации к сква­жине

Пусть в напорном водоносном пласте ведется откачка воды из совершенной скважины радиуса г_с (рис. 4.4). В плане пласт считаем неограниченным, т.е. за время откач­ки влияние ее не распространяется до границ пласта. Если исходная пьезометрическая поверхность горизонтальна, то из соображений симметрии ясно, что движение воды в пласте является одномерным плоскорадиальным и подчи­няется, согласно формулам (2.22а) и (2.11), уравнению

а в / дН\ дН

(4.19)

гдеЯ = H(r, t).

Начальное условие:

(4.20)

Граничное условие на внешнем контуре зоны влия­ния:

Вопрос о граничном условии на контуре скважины пока остается открытым.

f / y—r~rv~7Tr

v-7^-7-7-7^

■. * . ^ . *. \ ^ \\ •

• * * 'j • • * » • j • • • *

» * * ■ * * ⁹ » • • I • * * * • I * * • .

0

Puc. 4.4. Схема фильтрации к скважине в неограниченном пласте По аналогии с разделом 4.1.1, введем безразмерную комбина- _г²

цию tj = —^ и попытаемся найти решение уравнения (4.19), завися- 4 a t

щее только от 1} [Н=H(tj)]. Для этого заменим производные по rut производными по новой переменной ty. Тогда уравнение (4.19) при­водится к виду:

(4.22)

ЗАДАЧА. Получить самостоятельно уравнение (4.22) из уравне­ния (4.19).

Введем новую функцию и = dH/d Т] и разделим переменные

dt].

du _ _ 1 +Г] и П

Интегрируем: In и= —]&t] —t] +]flC_v где Cj - произвольная постоянная. Отюсда

dH = е~Ч dr].

Интегрируем еще раз в пределах от У] до <». С учетом граничногс условия (4.21) получаем

n₀-H(fi) = ~Cj V*- n

где под знаком интеграла введено новое обозначение г для перемен­ной интегрирования. Интеграл с переменным нижним пределом, сто­ящий в правой части этого равенства, известен как интегральная экспоненциальная функция и обозначается символом Е$

(4.24)

00 —z

V

Для определения этой функции составлены подробные таблицы (см. приложение 2).

Итак,

4а t

(4.25)

Я(Г,0=Я„-С_оЯ;

Для определения С _t вспомним теперь, что мы пока не зафикси­ровали граничного условия на скважине. Найдем выражение для расхода скважины

Q_£=2*t (₄4)]Ц =

С, {;£[*,(-,)3®]Ц-

а

V

= - АлТС_х е

4 а t' г —г.

= - 2пТС₁ Г_с

2 9|(

Так как величина r_c/(4a t) при реальном малом радиусе сква­жины быстро стремится к нулю с ростом t, то множитель exp [ — rV(4а* *)] уже при небольших значениях t оказывается прак­тически равным единице. Например, при г,*=10 см и а ^ш 10³ м²/сут уже через 1 мин. после начала работы скважины это справедливо с погрешностью менее 1 %. Следовательно,

с

(4.26)

¹ 4ЖТ ’

где расход скважины практически может считаться не зависящим от времени. Формула (4.25) принимает вид

Q ( 2 \

=Н₀+-

4лТ^Е'¹

(4,27)

и она может, таким образом, рассматриваться как реше­ние поставленной задачи для случая скважины, работаю­щей с постоянным расходом Q_c. Вводя далее понижение напора S(r, Т) = Н₀ — Я, приходим к окончательному выражению:

^ , \

S(rj) =

(4.28)

4а t

Е

4 лТ *

здесь

W

4а* t

известному как решение Тейса [47]. Нетрудно показать, что в таком виде оно годится и для случая исходной пье­зометрической поверхности произвольной формы (дока­жите это самостоятельно, пользуясь методом сложения течений, — аналогично изложенному в разделе 3.3)

При малых значениях аргумента, примерно при

_2

V ~

4а* t

(4.29)

< 0,05-4),! ,

функция —Eg (—ф хорошо аппроксимируется выраже­нием In (0,56/ф, и решение Тейса записывается в виде

4 лТ г (4.30)

Для двух точек г_х и г₂, удовлетворяющих условию (4.29), разность понижений S_x — S₂ = A S описывается, следовательно, зависимостью

Qr ^г~>

отвечающей формулам раздела 3.2 для стационарной плоскорадиальной фильтрации. Иначе говоря, в зоне, удовлетворяющей условию (4.29), пьезометрическая кривая перемещается во времени параллельно самой себе, не изменяя формы, т.е. здесь имеет место квазистацио- нарный режим движения. Физически это означает, что расход жидкости, обусловленный сработкой упругих за­пасов в пределах упомянутой зоны, пренебрежимо мал в сравнении с транзитным расходом, поступающим в нее из периферийных зон области влияния откачки.

Формулы (4.28), (4.30) и (4.31) широко используют­ся при обработке результатов опытных откачек (см. гл. 5).

Обратим внимание, что формула Тейса годится только для скважин, работающих с постоянным рас­ходом в неограниченном пласте. Однако, пользуясь ме­тодом сложения течений, можно получить решение для скважины с изменяющимся дебитом или скважины, рабо­тающей вблизи прямолинейной границы пласта. Анало­гично изложенному в разделе 3.3 — простым суммирова­нием — получают решение и для группы скважин.

ЗАДАЧА. Вывести формулу для расчета понижений в точке А (рис. 4.5) при работе скважины с постоянным расходом вблизи непро­ницаемого сброса. При выводе рекомендуется применить метод отра­жений (см. раздел 3.3).

Выведем теперь формулу, описывающую процесс восстановления уровней после прекращения откачки. Пусть откачка с расходом Q_c заканчивается через время t₀. Это равносильно тому, что начиная с момента t₀ наряду с продолжающейся работой откачивающей скважины в той же точке включается нагнетательная скважина (с рас­ходом —Q_c). Тогда, согласно принципу суперпозиции, понижение напора на стадии востановления (т.е. при t > t₀) определяется по формуле

/ о \

-Я*-Б

4лТ '

(4.32)

А

4лТ

XX 'о)

+

4а* t

4 а

Рис. 4.5. Фильтрация к скважине вблизи непроницаемой границы: а - план; б - разрез

При ограниченном времени восстановления t'-t — t_Q в сравнении с длительностью откачки t₀ ориентировочно,

при

(4.33)

_Т <0,1,

о

можно считать, что в зоне квазистационарного режима откачки

_2 \ ( JL \

~-Е_;

~Е_;

4а¹ t

4а L

и формула

32. принимает вид:

а

(4.34)

Д 5(0 = S'(tJ - S(t₀ + О - - _Tjc-f B_t

т.е. на начальном этапе восстановления, удовлетворяю­щем условию (4.33), подъем уровня A S' описывается той же формулой Тейса. При этом A S отсчитывается от пье­зометрических уровней, зафиксированных на конец от­качки, а время f, соответственно, — от момента прекра­щения откачки. Физически это означает, что режим фильтрации в конце откачки близок к стационарному: скорость изменения напоров в это время пренебрежимо мала по сравнению со скоростями, фиксируемыми в на­чальный период восстановления. Обратим, однако, вни­мание на то, что это предположение, так же как и формула (4.34), справедливо только для той области, прилежащей к скважине, где на конец откачки удовлетворяется усло­вие квазистационарности (4.29).

Для малых значений г формула (4.34), как и в случае общей зависимости Тейса, заменяется логарифмической аппроксимацией. В частности, для самой скважины (г=г_с) она принимает вид

. _с Q_c , 2,25 a* t'

с⁼ 4ят —г—•

^{45Я г}с (4.35)

Для скважин с заданным постоянным уровнем (самоизливаю- щие скважины, поглощающие и др.) решение Тейса неприменимо. Для оценки расхода такой одиночной скважины в неограниченном пласте может использоваться приближенная формула [42 ]

2JtTS, 27tTS_r

Q_c 7-—Ht—" /—’• Ч«~~ •

VJta t+r„ lnWTa t

'7; ~~^r7~ <4.36)

которой можно придать следующий вид, формально подобный зави­симости Тейса для понижения S_c в самой скважине:

_ 1 . Ла* t

(4.37)

Q_c 4тсТ _г2 ‘

При не слишком малых значениях t различия в коэффициентах (2,25 и л) под логарифмом не оказывают заметного влияния на гра­фик S_c( t)/Q_c , что дает возможность обрабатывать данные оди­ночных откачек и выпусков (из самоизливающих скважин) по еди­ному алгоритму (см. гл. 5).

Возвращаясь к выражению (4.36), отметим, что оно формально совпадает со стационарной формулой (3.32) для скважины в круговом пласте, если ввести обозначения

R{t) = 'ПГа*! + г_с«уГлаЧ. (4.33)

Величина R(t) может быть названа расчетным ради­усом влияния скважины, при этом, однако, подчеркнем условность данного понятия — аналогично сказанному ранее о расчетной длине зоны влияния (см. раздел 4.111). Вместе с тем, интересно отметить, что формулы для опре­деления этих величин Оказались идентичными как при плоскопараллельном (см. формулу (4.18)), так и при пло­скорадиальном (см. формулу (4.38)) потоках. Это дает основание предположить, что и при иной геометрии линий тока можно (с какой-то долей приближения) пользовать­ся формулой (4.38), отсчитывая полученное по ней зна­чение R(t) от границы области стока.