Глава 3

В предыдущей главе нами подчеркнуто исключитель­ное практическое значение математической модели пла­новой геофильтрации. Поэтому теперь мы переходим к систематическому изучению задач в плановой постановке и методов их решения (см. также гл. 4). Изложение будет вестись по линии постепенного усложнения материала. В данной главе рассматриваются стационарные процессы, которые не учитывают изменений емкостных запасов во­ды в пласте и описываются более просстыми уравнениями не содержащими временной производной. Искомой вели­чиной является напор как функция координат Н(х, у). Основным фильтрационным параметром пласта (извест­ным коэффициентом уравнения) в этих задачах служит коэффициент фильтрации или проводимость. Для безна­порной фильтрации дополнительным параметром являет­ся удельная инфильтрация е, а для пластов с перетекани­ем — параметр перетекания В.

В гл. 4 будут рассмотрены нестационарные процессы, сопровождаемые изменениями емкостных запасов воды в пласте и описываемые более сложными в целом уравне­ниями, содержащими временную производную.

В рамках рассмотрения стационарных и нестационар­ных процессов постепенное усложнение излагаемых за­дач связано со структурой потоков: сначала изучаются более простые одномерные задачи, а затем — двухмер­ные.

Нужно подчеркнуть, что на начальных этапах исс­ледования плановой фильтрации мы будем часто ре­шать задачи в настолько идеализированной, упрощен­ной постановке, что их практическое значение может показаться, на первый взгляд, ничтожно малым. Пре­дупредим поэтому читателя заранее, что это — отнюдь не так: на самом деле, — и мы это докажем, — у пол­учаемых таким образом простейших решений имеется весьма широкое поле практических приложений — при условии целенаправленного применения надлежащих принципов схематизации. А так как эти принципы во многом опираются не только на физические идеи, но и на соответствующий им формально-математический аппа­рат, то именно постепенное усложнение и развитие по­следнего существенно предопределяют логику последую­щего изложения.

В целом гл. 3, как и гл. 4, должна научить нас тесно увязывать физические представления о процессе с ма­тематическим аппаратом решения задач динамики под­земных вод, а также с простейшими идеями схематиза­ции. При этом будем исходить из того, что при изложе­нии фундаментальных дисциплин (а для гидрогеологов «Динамика подземных вод» является именно такой дисциплиной) промежуточные выводы и рассуждения, пожалуй, не менее важны, чем результат; поэтому мы будем стремиться к тому, чтобы изложение подавляю­щей части задач не имело логических провалов.

Выбранные для анализа задачи имеют достаточно ши­рокое практическое звучание. Чтобы оттенить последнее обстоятельство, название задач будет даваться не только по формально-математическому признаку, но и исходя из их гидрогеологической направленности.

1. Плоскопараллельная (одномерная) стационарная фильтрация

Приводимые здесь и в следующем разделе задачи мог­ли бы быть решены и без аппарата дифференциальных уравнений. Представляется, однако, полезным рассмот­реть их именно с привлечением этого аппарата, с тем чтобы усвоить логику постановки и решения краевых задач — дифференциальных уравнений при тех или иных краевых условиях.

1. Задача о напорной фильтрации между двумя бассейнами (реками)

На рис. 3.1 ,а показаны два бассейна с параллельными берегами. Напор в правом бассейне (Н_х) выше, чем в левом (Я₂), так что между бассейнами имеет место ста­ционарный напорный поток, направленный противопо­ложно оси х. Если расстояние между бассейнами L суще­ственно меньше их протяженности в плане d, то линии тока оказываются практически параллельными друг другу, т.е. мы имеем дело с одномерным плоскопарал­лельным движением, зависящим лишь от одной коорди­наты х, т.е. Н — Н(х).

Соответствующее дифференциальное уравнение по­лучаем из выражения (2.8):

d²H

= 0

dx* (3.1)

Область фильтрации заключена в интервале (0, L), на ее границах заданы условия

Я(0)=Я_2; H(L) = Я₁ . (3.2)

Уравнение (3.1) и граничные условия (3.2) дают ма­тематическую постановку задачи. Требуется найти функ­цию Н(х).

Порядок решения:

<d£

dx

1

произ­

так как

dx

_Л dH ~ ~

’ ^T0~dx ^{= р} гДе ^Ci

вольная постоянная, '

|~2~| интегрируем уравнение с разделяющимися пере­менными dH = Cj dxvL получаем / dH = С, J dx\ H{x) = = C,x 4- C₂ общее решение исходного дифференциально­го уравнения;

используем граничные условия (3.2) для опреде­

ления Cj и С₂:

я₂ — Cj "0 + С₂

Н_{ = Cj L + С₂ ’

откуда

Рис. 3.1. Схемы напорной (а) и безнапорной (б) фильтрации между двумя бассейнами

я, -я₂

Щх) х+Н₂, _{(3 3)}

т.е. пьезометрическая кривая является в данной задаче пря­мой линией с уклоном (градиентом) /= (Н₁ - Н₂) / L\

5 найдем удельный расход потока согласно закону Дарси и (3.3):

-Л 4K-U ^я. ^н2 _тн₁-н_г ^{9 к} dx L ~ L ’ (3.4)

т.е. расход потока во всех поперечных сечениях одинаков (не зависит от х).

Формулы (3.3) и (3.4) полностью решают задачу. Ими описывается также движение в слоистом напорном пласте при Т = 2 Tf, эти решения применимы и к расчет­ной схеме безнапорного двухслойного пласта (при отсут­ствии инфильтрации), когда вместо проводимости Т под­ставляется Т — проводимость нижнего пласта (см. раздел 2.5.2).

ВОПРОС. Можно ли было заранее, исходя из физических пред­посылок догадаться, что: 1) расход потока является постоянным; 2) пьезометрическая кривая окажется прямой линией?

ЗАДАЧА. Вкрест долины реки расположен створ из трех наблю­дательных скважин. Пользуясь формулой (3.4), выведите формулу для определения соотношения ₂/Т_{2 3}, ще Т_{{ 2} и Г- , — средние проводимости пласта на участках межд’у скважиками I’-z и 2-3.

2. Задача о безнапорной фильтрации между двумя бассейнами (реками)

Считается, что водоупор горизонтален (см. рис. 3.1,6); имеет место инфильтрация с постоянной интенсив­ностью е.

Согласно (2.32), получаем исходное уравнение филь­трации в виде

d /, dh\ . е

dx (* dx) ⁺k~°- (3.5)

s.

Граничные условия имеют вид

Л(0)=Л_2; h(L)=h_l.

Решение:

[Т] перепишем уравнение в виде интегрируем

1 d h е

dx~ к^{х 1} ’

вновь разделяем переменные

£

h dh

-j^xdx + C_xdx\

интегрируем

1. , p

2. h fc'2 ⁺ C_{ x +C₂ — общее решение; используем граничные условия и получаем

hi ^C2~Y^;

С ^Eb 4

” к 2 ⁺ 2L ’

Гб] находим искомое частное решение

h\x) — — ~х\

х + hi,

\~h₂ e-L L ⁺ k~

² ’ (3.7)

\ /

т.е. депрессионная кривая является параболой;

[~7~| находим удельный расход потока

2

/ 0 0 \ 2 £ eL

~~Т^Х L ~к

\

т.е. расход меняется вдоль потока, причем максимальное его значение отмчается при х = 0 (на урезе левого бассей­на).

ВОПРОСЫ. Можно ли было заранее ожидать, что в этой задаче депрессионная поверхность не будет плоскостью? Почему расход вдоль потока изменяется? Дать физическое объяснение.

ЗЛДЛЧАВывести аналогичные формулы для безнапорного двухслойного пласта (см. рис. 2.16,в):

X + Л2 -

При отсутстви инфильтрации формулы (3.7) и (3.8) дают

(3.9)

(3.10)

Формула (3.10) известна как формула Дюпюи. Со­гласно ей расход вдоль потока не меняется.

ВОПРОС. Изменяется ли скорость вдоль потока?

Заметим, что формулы (3.9) и (3.10) можно было бы получить и без вывода — на основании формул (3.3) и

4. для напорного пласта, путем подстановки (2.38а).

ЗАДАЧА. По данным замеров уровней в наблюдательной сква­жине, расположенной посередине между двумя бассейнами, извест-

на величина напора h(L/ 2). Найти формулу для определения сред-

^£ тт

него по площади значения параметра ■£. Что можно сказать о надеж­ности такого метода определения этого параметра, имея в виду ре­альную плановую изменчивость величины Е и параметра к?

Сопоставлением найденных выражений (3.8) и (3.10) можно получить представление о роли инфильтрационного питания в общей величине расхода потока. Для этого с помощью формулы (3.7) пред­варительно следует найти параметр ^ по данным режимных наблю­дений (на период отсутствия заметных колебаний уровней в бассей­нах и в наблюдательных скважинах, т.е. для режима, близкого к стационарному). Показателем надежности такой оценки может слу­жить близость значений параметра ^ для различных наблюдатель­ных скважин, расположенных в пределах планово-однородного пла­ста.