2. Расчетная модель жесткого режима фильтрации

Сделаем дополнительные упрощения, предположив, что порода и вода несжимаемы, т.е. уравнения состояния имеют вид р = А и п- В, где А и В не зависят от времени. Тогда в уравнении неразрывности пропадает временная производная. Если, кроме того, считать, что интенсив­ность пространственной изменчивости плотности жидко-

/ dp & ^vx \

сти очень мала ^<</01Г.х’ "'г ^{т0 из вы}Р^ажения

4. получаем

д v_y д v_v д v

— -I -У- = о

дх ду dz ' (2.6)

Подставляя сюда закон Дарси (1.58), имеем резуль­тирующее уравнение для жесткого режима фильтрации :

/- +Г- +# (к¥) =о• „7,

дх\^хдх) ду\Уду} dz\^zdz) (2.7)

Если пласт является однородным и изотропным (к_х = к_у = k_z — к - const), то уравнение (2.7) принимает вид

V²tf= 0, (2.8)

где V²# = —^-~2 + —-—2 + -г—2 —обозначение суммы вторых

д²Н д²Н д²Н

дх² ду² dz^:

производных, именуемое оператором Лапласа для функции И.

Уравнение в частных производных вида (2.8), назы­ваемое уравнением Лапласа, широко исследовано в раз­личных отраслях математической физики. Так как в даль­нейшем нам потребуется уравнение Лапласа в основном для двухмерных и одномерных движений, то приведем соответствующие выражения оператора Лапласа:

[1Г в двухмерном случае, когда процесс описывается двумя пространственными координатами (х, у):

дх² ду² (2.9)

в одномерном случае плоскопараллельного дви­жения вдоль оси х:

V²// = 0JL •

дх²' (2.10)

[У] в одномерном случае плоскорадиального движе­ния, зависящего от одной координаты г:

v²tf=I. э (_ГМ\

(2.11)

т дт \ дт)

Уравнения жесткого режима фильтрации не содержат времени в явном виде. Следовательно, при неизменных во времени напорах на границах выделенного участка движение жидкости в пределах этого участка должно быть стационарным: Н=/(х, у, z). Физически это означает, что сам водоносный пласт воды не отдает и не принимает (вся вода проходит транзитом от контура питания к контуру стока). При этом реакция на любое возмущение на грани­це участка мгновенно распространяется по вещему пласту как в абсолютно жесткой физической системе .

Понятно, что модель жесткого режима фильтрации, будучи приближенной, дает приемлемые результаты, ког­да транзитный поток резко превышает объемы воды, по­ступающие за счет упругих запасов пласта. Поэтому в целом точность этой модели оказывается обычно тем меньшей, чем больше размеры изучаемой водоносной системы, т.е. модель может быть приемлемой для расчетов систем с близко расположенными границами питания.

3. Расчетная модель упругого режима фильтрации

Эта, более общая, модель учитывает сжимаемость пласта и воды, т.е. уравнения состояния имеют вид (1.34) и (1.35). Будем по-прежнему считать, что ввиду малости значений скорости фильтрации (v_x, v_y, v_z) и пространст­во др др\

венной изменчивости плотности произведе­

нием соответствующих величин можно пренебречь: d(p-v_x) dv_{x др} dv_x

дх ^р дх ^Хдх ^р дх (2.12)

И т.д.

Уравнения состояния находят свое суммарное отра­жение в зависимости (1.38), включающей коэффициент упругоемкости; переписывая ее для единичного кубика, содержащего массу жидкости М₀ —рп, получим

dM_n * _п-—= w^tf,

К ¹ (2.13)

откуда

dip п) ~prj*dH, (2.13а)

т.е.

д(рп) *д Н dt ~Р*¹ ~dt' (2.136)

Подставляя выражения (2.12) и (2.13,6) в уравнение неразрывности (2.4), после сокращения на р получим

дх dy dz ^ dt ’ (2.14)

а с учетом закона Дарси приходим к результирующему уравнению:

JL /_{к +} А. (_к , А. (_к !Л\ =„А^Н

д дс ( * дх) dy \ ? dy) dz\^zdz) У dt

(2.15)

Для однородного изотропного пласта

Vfr = i~r,

a At (2.16)

где

* к а = —*

t)* (2.17)

Уравнение вида (2.16), называемое уравнением Фурье, широко исследовано в теории теплопроводности.

Таким образом, в отличие от жесткого режима движе­ния в напорном пласте, уравнения упругого режима на­порной фильтрации содержат приозводную по времени, т.е. в этом случае Н = Н(х, у, z, t) и движение является нестационарным. Физически это означает, что по мере уменьшения напоров во времени в водоносном пласте постепенно срабатываются его упругие запасы. Высво­бождающиеся при этом объемы воды «вкладываются» в общий баланс фильтрационного потока в водоносном пласте. Реакция от возмущения напоров на границе или в какой-либо области рассматриваемого пласта распрост­раняется от этой границы (области) по пласту постепенно, причем скорость распространения тем больше, чем выше проницаемость и чем меньше упругоемкость горной по­роды. Следовательно, отношение а =~¹ является пока­зателем скорости изменения напора (гидростатического

давления) в пласте. Соответственно величина а* полупи­ла название [36] коэффициента пьезопроводностй; ее размерность (L²/T): м/сут, см /с. Например, для напор­ного пласта, сложенного песком с характерными значени­ями к- 10 м/сут, r}*= 10"⁴ м'¹, получаем а* = 10⁵ м²/сут, для глинистых пород с характерными значениями к =

0,001 м/сут, rj*= 10~³ м'¹ имеем а = 1 м²/сут.

В дальнейшем мы узнаем, что размещл области влияния того или иного возмущения пропорциональны УаЧ. Следовательно, из при­веденного примера понятно, что в водоносных слоях фильтрацион­ное возмущение передается со скоростями на несколько порядков большими, чем в водоупорных.

3. Подобие дифференциальных уравнений

как основа математического моделирования фильтрации

Так как исходные уравнения состояния, движения и неразрывности лежат в основе математического описания фильтрационного процесса, то формальная идентичность полученных в этом параграфе уравнений дифференци­альным уравнениям какого-либо иного процесса может рассматриваться необходимым признаком для математи­ческой аналогии (наряду с идентичностью краевых усло­вий — см. раздел 2.4)*. Так, применительно к электромо­делированию стационарных фильтрационных процессов эта аналогия ясна из сопоставления уравнения жесткого

режима фильтрации (2.7) и уравнения стационарного электрического тока:

(^с-т

(C_z~~\ = 0 \^zdz_M) (2.

+ с„ ду,

+

dz

дх

18)

д /„ д U \ . д /_г dU\ . д /„ д U

{^y*yJ

U

С

электрический потенциал; удельная электропроводность среды; координаты точек модели.

где

х„ z.

м, ^J м, м

В частном случае профильной двухмерной фильтра­ции, моделируемой на сплошной модели из электропро­водной бумаги, согласно (2.18) получаем

^У1 ди^х Pz dz

*1 ди

Рх дх

_д д х

= 0,

+

д z

(2.18а)

м

м

м

м

где р — удельное сопротивление бумаги.

Для уравнения нестационарной фильтрации (2.15) электрическим аналогом служит уравнение нестационар­ного электрического тока в проводящей среде, характе­ризующейся в каждой ее точке некоторой удельной элек­трической емкостью С:

эи

М \ ” "Л/ ” ^JМ \ ” ^Jм/ ” ~М \ ~ ~м/ д t_M

(2.19)

где t_M — модельное время.

Эквивалентность правых частей этих уравнений обес­печивается введением дополнительных масштабных ко­

эффициентов: ctfj = Ч; иа₍

' ^{С 1}м

t

ЗАДАЧА. Убедитесь прямой подстановкой, что уравнения (2.15) и (2.19) формально подобны при выполнении следующего критерия подобия, дополняющего ранее полученный критерий (1.78):

(2.19а)

a_K’Cc_t

. (_с .1Щ ₊ М. /_с . М\ + JL (с . М\

I * ^дхм) I ² 9zJ

= С

д х

Для полного подобия процессов аналогия приведен­ных здесь уравнений должна сопровождаться выполнени­ем других необходимых критериев:

(Т подобием строения рассматриваемых областей в смысле их геометрии и пространственного распределения показателей свойств среды;

[~2 подобием краевых условий (см. раздел 2.4). Бо­лее конкретно использование выявленной здесь аналогии будет отражено в последующих разделах, где мы убедим­ся также в целесообразности конечно-разностных апп­роксимаций приведенных уравнений, лежащих в основе применения дискретных аналоговых моделей и чисденно- го моделирования на ЭЦВМ.

Подчеркнем, вместе с тем, что каким бы мощным инструментом исследования не являлось моделирование, с наибольшим эффектом оно применяется в разумном сочетании с аналитическими методами. Именно поэтому методика моделирования будет в дальнейшем рассматри­ваться параллельно с аналитическими методами — без ее выделения в специальный раздел.