20.2. Електрон у полі періодичного потенціалу
Характерною
рисою твердих тіл є їх періодична будова
або трансляційна симетрія. Кожний
кристал складається із просторово
відтворених елементарних комірок.
Елементарні комірки можуть складатися
з однієї або декількох молекул, атомів
та іонів. Комірки не заряджені, тобто
електрично нейтральні. Завдяки
трансляційній симетрії кожній точці
будь-якої елементарної комірки можна
зіставити еквівалентну точку іншої
елементарної комірки. Положення
еквівалентних точок у кристалі
характеризується вектором її ґратки
,
де
не комплементарні вектори періодів
основних трансляцій ґратки, а
- довільні цілі числа. Паралелепіпед,
побудований на векторах
,
називається елементарною (примітивною)
коміркою кристала. Кристалічна комірка
найменшого об'єму називається елементарною
коміркою.
Періодична будова кристала впливає на властивості квазічастинок у ньому, наприклад, через самоузгоджений потенціал в одноелектронному наближенні. Вибір потенціалу це складна задача, яка розв'язується за допомогою різних наближень: сильного або слабкого зв'язків тощо. Проте, незалежно від конкретного різновиду потенціалу він повинен бути в кристалі періодичною функцією
(20.2)
де - період його кристалічної ґратки.
Можна показати, що розв’язок рівняння Шредінґера (20.1) з періодичним потенціалом (20.2) має вигляд періодичних власних хвильових функцій
.
(20.3)
Тут 
,
(20.4)
а
- деякий сталий вектор.
Дійсно,
після трансляційного перетворення на
період ґратки
потенціал не змінюється, й рівняння
Шредінґера (20.1) залишається інваріантним.
Тому його власна хвильова функція може
змінитись на фазовий множник
, (20.5)
де 
. (20.6)
Після
другого трансляційного перетворення
з періодом
маємо
. (20.7)
З іншого боку
. (20.8)
Порівнюючи (20.7) з (20.8), знаходимо
. (20.9)
Функція, що задовольняє умовам (20.6) і (20.9), має вигляд:
, (20.10)
де
- деякий сталий вектор. Функція
не змінюється, якщо до вектора
додавати
,
де
- ціле число
.
(20.11)
Функція
(20.3) називається функцією
Блоха,
а
- її амплітудою, модуль квадрата якої
характеризує густину ймовірності
знаходження електрона в точці кристала
з радіус- вектором
.
Таким чином, амплітуда функції Блоха
описує квазічастинку - електрон, який
належить усьому кристалу. Оскільки вона
періодична (20.4), то її обчислюють у межах
однієї елементарної комірки кристалу.
А для визначення хвильової функції
всього кристала
її потрібно помножити на фазовий множник
.
Функція Блоха нагадує хвильову функцію
вільного електрона
, (20.12)
де - хвильовий вектор, що визначає імпульс і енергію Е електрона відповідно
(20.13)
Тому
вектор
функції
Блоха називається хвильовим
вектором квазічастинки-електрона в
кристалі.
Він визначає квазіімпульс
електрона в кристалі.
На відміну від імпульсу вільного
електрона квазіімпульс електрона в
кристалі визначається неоднозначно.
Стани в кристалі виявляються тотожними
у яких вектор
(або
)
відрізняється на
,
де
-
ціле число (20.11).
Хвильовий
вектор
(або
квазіімпульс
)
електрона в кристалі визначає фазу
хвильової функції. Коли
-
дійсна величина, то функція Блоха (20.3)
буде хвилею, що біжить (біжуча хвиля),
модульованою з періодом, що збігається
з періодом ґратки. Вона поширується в
кристалі без затухання. Густина
ймовірності
,
щоб знайти електрон, має однакову
величину в кожній комірці кристала.
Отже, поки
зберігається ідеальна періодичність,
колективізований електрон не розсіюється
й має нескінченну довжину вільного
пробігу в кристалі.
Розсіяння відбувається, коли електрон
зіштовхується з дефектами ґратки,
поверхнею кристала та фононами. Коли
хвильовий вектор уявний
,
то хвильова функція необмежено затухає
для одного з напрямків реального простору
. (20.14)
Це означає, що квазічастинка – електрон, що має уявне значення хвильового числа , не може розповсюджуватись у цьому напрямку кристала. Для уявних - це заборонені області енергій для руху колективізованих електронів. Таким чином, система енергетичних рівнів у кристалі розбивається на дозволені й заборонені зони енергетичних рівнів.