4.3. Позитроній та мезоатом

Користуючись моделлю Бора, можна розглядати атомні структури, до складу яких будуть входити електрон і позитрон або протон і мезон. Ці атомні системи називаються позитронієм та мезоатомом відповідно. Вони є аналогами атома водню. Позитрон - це частинка з масою, що дорівнює масі електрона, і позитивним зарядом, який дорівнює заряду електрона ( і ). Мезон - це елементарна частинка, яка має заряд рівний заряду електрона і відрізняється від нього масою. Його маса в 207 разів більша за масу електрона ( і ).

Згідно моделі Бора спектри цих незвичайних атомів повинні описуватись узагальненою формулою Бальмера, в якій потрібно врахувати заряд та приведену масу.

Для позитронію , . Приведена маса для позитронію дорівнює .

Підставимо цей вираз для приведеної маси в формулу (4.13) для сталої Рідберга, тоді

(4.14)

Це означає, що всі спектральні лінії позитронію будуть зсунуті в бік більших довжин хвиль (в червону область спектра). Його енергія (потенціал) іонізації повинна бути вдвічі меншою за енергію (потенціал) іонізації атома водню

Позитроній дійсно був знайдений експериментально. Він утворюється при зіткненні повільних позитронів з атомами речовини. Позитрони захоплюють електрони атомів речовини і утворюють атоми позитронію з коротким часом життя. Після короткого часу життя позитрон зникає, тому що -е та +е анігілюють⁹, утворюючи 2 або -кванти. Час існування атомів позитронію досить малий 10^-10 секунди, проте вони були експериментально досліджені, і їх властивості виявились такими, як передбачає модель Бора. Екзотичною структурою, подібною до позитрона, є мюоній-система, що складається з електрона та мезона, маса якого дорівнює . Його параметри розраховуються аналогічно як для позитронію.

Для мезоатома¹⁰ водню , а ефективна маса значно більша за ефективну масу атома водню

.

Це означає, що в формулі (4.13) для мезоатома стала Рідберга повинна бути замінена приблизно в 200 разів більшою величиною по відношенню до атома водню, . Спектральні лінії мезоатома водню повинні зсунутись по відношенню до спектральних ліній атома водню в короткохвильовий бік. Енергія (потенціал) іонізації мезоатома також суттєво зростає і дорівнює

, що дійсно спостерігається експериментально.

Доцільно також звернути увагу на те, що радіус першої стаціонарної орбіти мезоатома водню буде в 186 разів меншим за радіус першої борівської орбіти водню

.

А якщо утворити мезоатом з атомним номером , тобто замінити в ньому один із електронів мезоном, то мезон повинен рухатись всередині атомного ядра, бо . Дослідження таких мезоатомів дає змогу отримувати відомості про будову атомного ядра. Крім того, наявність мезона в атомному ядрі збільшує час його взаємодії з ядром і тим самим може змінювати умови виникнення ядерних реакцій.

4.4. Еліптичні орбіти. Головне та орбітальне квантові числа.

Крім кругових траєкторій мають право на існування й еліптичні траєкторії. В нормальних координатах цей різновид руху зводиться до двох гармонічних коливань, для яких повинні мати місце дві умови квантування, сформульовані Зоммерфельдом :

4.15)¹¹

де узагальнені радіальний та кутовий імпульси мають вигляд:

(4.15*)

і - радіальне та кутове квантові числа, які визначають величини радіального та кутового узагальнених імпульсів.

Стаціонарні орбіти електрона в моделі атома Бора-Зоммерфельда - це двовимірні криві, що визначаються цими двома квантовими числами і . Вони характеризуються малою і великою півосями, для яких Зоммерфельд отримав співвідношення:

(4.16)

(4.17)

де - головне квантове число, а .. - орбітальне квантове число ( ). Значення потрібно виключити, тому що при цьому траєкторія вироджується в пряму лінію, яка проходить через центр ядра. Радіус першої борівської орбіти, як і раніше, дорівнює .

Енергії стаціонарних станів атомів з одним електроном (воднеподібних) і зарядом ядра визначаються головним квантовим числом

(4.18)

Новою рисою еліптичних орбіт є - кратне виродження стаціонарних станів. Воно полягає в тому, що при заданому значенні числа , тобто при , існує n станів руху ( орбіт), які відрізняються одна від другої значенням орбітального квантового числа або

Рис.4.1. Схема утворення трьох станів атома Бора-Зоммерфельда з головними квантовими числами .

величиною малої півосі еліптичної орбіти. Розглянемо декілька станів з головними квантовими числами і 3. Орбіти цих станів руху наведені на схематичному рис.4.1, з якого видно, що стан з головним квантовим числом не вироджений. Це одна кругова орбіта. Стан з квантовим числом двократно вироджений. Однакову енергію мають два стани - стан руху по колу з радіусом і по еліпсу з півосями . Стан з квантовим числом тричі вироджений.

Виродження можна зняти за допомогою зовнішніх полів, наприклад, магнітного поля, яке буде діяти на магнітні моменти, що створюються електронними струмами під час руху електронів по замкненим орбітам. Кожний замкнений контур зі струмом (або замкнена орбіта) має магнітний момент

(4.19)

Запишемо вираз для

, (4.20)

знайдемо з нього і підставимо до формули (4.19) для

. (4.21)

Вираз дає надзвичайно важливе гіромагнитне співвідношення між магнітним і механічним моментами

. (4.21*)

Знак мінус у (4.21*) вказує на те, що магнітний момент електрона направлений протилежно напрямку його орбітального моменту.

Наявність магнітного поля призведе до появи третьої координати (рис.4.2), тобто до третьої умови квантування

, (4.22)

із якої можна записати, що

(4.23)

Рис.4.2. Схема появи третьої координати у магнітному полі H.

Оскільки тому , ,…,- , тобто пробігає значень. Його позначають через і називають магнітним квантовим числом.

Енергія системи у магнітному полі буде дорівнювати:

(4.24)

Підставимо в цю формулу вираз для із (4.21), тоді

. (4.25)¹²

Таким чином, кожному значенню кута  або квантового числа відповідає певне значення енергії в магнітному полі , і тому повна енергія електронів в даному стаціонарному стані тепер залежить від двох квантових чисел: головного - і магнітного - . Число визначає проекцію магнітного моменту на напрямок, що збігається з напрямком напруженості магнітного поля , і визначає енергію електрона в атомі, яку він набуває в магнітному полі (формула (4.25). В формулі (4.25) вираз - називається магнетоном Бора ( ). Чисельно він дорівнює . Магнітне квантове число набуває такі значення , , ,...., , тобто має значень. Завдяки цьому атом набуває в магнітному полі стільки додаткових значень , тобто знімається виродження. Енергія не вироджених станів стає тепер рівною:

(4.26)

Ця залежність енергії електрона атома водню пояснює появу нормального ефекта Зеємана (глава16). Проте існують властивості, які модель Бора-Зомерфельда не може пояснити, зокрема, властивості складних атомів (глави 9, 10, 11), результати дослідів із розщеплення нейтральних атомів у неоднорідному магнітному полі, що були виконані Штерном і Герлахом (глава 15) тощо. В цілому модель Бора-Зоммерфельда виявилась непослідовною і згодом була замінена квантомеханічним описом атомів на основі рівнянь Шредінґера і Дірака.