7.3. Гармонічний осцилятор

Потенціальна енергія гармонічного осцилятора є парабола , де - коефіцієнт квазіпружної сили Одновимірне рівняння Шредінґера для стаціонарних станів має такий вигляд:

. (7.17)

де m₀ – маса частинки. Пам’ятаючи, що в попередньому випадку частинки в потенціальній ямі ми отримали дискретний спектр енергії, можна очікувати, що й у цьому випадку матимемо також дискретний спектр енергій, хоча залежність від квантових чисел і параметрів осцилятора буде іншою. Хвильова функція між класичними точками повороту (точками на кривій ) має вигляд осцилюючої функції, а зовні вона експоненціально затухає. Відповідність із класичним осцилятором спостерігається при

Рис.7.3. Параболічна потенціальна яма, (суцільні криві), пунктир – класична ймовірність знайти електрон у коливному стані, вставка – зменшене зображення для .

Розв’язок рівняння Шредінґера дає таку залежність для власних значень енергії осцилятора:

(7.18)

де - вібронне (коливальне) квантове число, котре пробігає значення а - власна частота гармонічного осцилятора

(7.19)

Нульову енергію осцилятора можна знайти, користуючись співвідношенням невизначеностей та ще й умовою мінімуму повної енергії гармонічного осцилятора . Дійсно, тоді . Аналізуючи рис.7.3, на якому схематично зображені енергетичні рівні, хвильові функції і квадрати хвильових функцій для різних вібронних (коливальних) квантових чисел , зробимо такі висновки:

• дискретний спектр енергій гармонічного осцилятора лінійно залежить від вібронного (коливального) квантового числа ;

• можливий стан із квантовим числом , енергія якого рівна ;

• інтервал енергій між двома стаціонарними станами рівний ;

• імовірність знайти електрон у певному стані залежить від вібронного числа . При малих значеннях квантового числа квантовий осцилятор найбільш суттєво відрізняється від класичного. Найбільша густина ймовірності знайти електрон квантового осцилятора знаходиться в точках, розташованих ближче до точки (рис.7.3), тоді як для класичного осцилятора вона знаходиться в станах на кривій , коли його кінетична енергія  чим більше квантове число , тим більша ймовірність знайти осцилятор в стані з нульовою кінетичною енергією, тобто знайти його в стані на кривій ;

• треба також пам’ятати, що з усіх можливих переходів між стаціонарними станами спостерігаються ті, для яких виконується таке правило відбору.

На закінчення зауважимо, що гармонічний осцилятор дуже важливий фізичний об’єкт згідно теореми про нормальні координати систему в нормальних координатах розглядають як набір гармонічних осциляторів. За його допомогою вдається зрозуміти закони теплового випромінювання, сили Ван-дер-Ваальса, коливальні спектри молекул тощо.

7.4. Прозорість потенціального бар’єра (тунелювання)

Розглянемо для визначеності прямокутний одновимірний потенціальний бар’єр, зображений на рис.7.4. Нас буде цікавити випадок, коли , тому що в протилежному випадку, коли набагато більше , частинка рухається у вільному від полів просторі, як класична частинка з неперервним спектром енергій.

Рис.7.4. Прямокутний бар’єр.

Поділимо весь простір на три області 1, 2 і 3, як це показано на рис.7.4, і запишемо для цих трьох областей рівняння Шредінґера для стаціонарних станів

(7.20)

де

(7.21)

(7.21*)

Для випадку

(7.22)

Розв’язок рівнянь (7.19) мають вигляд:

(7.23)

(7.24)

Довільну сталу можна покласти рівній , а сталу , тому що в області 3 і хвиля не відбивається, а лише розповсюджується вздовж осі . Останні сталі визначимо з умов неперервності хвильових функцій:

(7.25)

==========================================================

Рис. 7.5. Бар’єр «сходинка».

Додаткову умову неперервності похідної хвильової функції можна довести, коли замість різкого розглянути плавний бар’єр (рис.7.5). . За теоремою про середнє значення . Із цих двох співвідношень запишемо . Тоді при ].

===========================================================

Підставимо в (7.25) значення хвильових функцій (7.23 і 7.24)

(7.25*)

Розв’язок системи рівнянь (7.25*) дозволяє знайти і .

==========================================================

Дійсно, запишемо систему рівнянь (7.25*) з урахуванням (7.22):

(7.25**)

З 3-го та 4-го рівнянь (7.25*) знайдемо і через

(7.25***)

і підставимо їх у перші два рівняння (7.25*). Тоді

(7.25****)

Для випадків, коли , вираз (7.25****) спрощується до

(7.25*****)

==========================================================

Вираз для квадрата модуля А₃ має вигляд:

(7.26)

де

(7.27)

Знайдемо коефіцієнт прозорості, який визначається відношенням потоку частинок , що пройшли через бар’єр, до потоку падаючих частинок .

(7.28)

Доведемо квантомеханічний вираз для потоку частинок через хвильові функції. Для цього сконструюємо вираз, який збігається із законом збереження кількості частинок у нерелятивістській області енергій²⁰

(7.29)

де - густина частинок, - потік частинок. Густина частинок пропорційна густині ймовірності, тому . Запишемо рівняння Шредінґера для та функцій та помножимо перше з них на , а друге - на

(7.30)

Різниця між правими та лівими частинами рівнянь (7.30) має вигляд:

, (7.31)

де

Порівнявши (7.31) з (7.29), остаточно запишемо, що

, (7.32)

а густина електричного струму визначається добутком

. (7.33)

Повернемося тепер до обчислення прозорості потенціального бар’єра. Для цього знайдемо та .

(7.34)

Аналогічно отримаємо

. (7.35)

Скориставшись виразами (7.34) і (7.35) для і , знайдемо прозорість бар’єра

,

де тобто

(7.36)

Таким чином, електрони (або інші частинки) можуть із певною ймовірністю проникати крізь потенціальний бар’єр скінченої висоти . Це явище, що не має класичного аналога, називається тунелюванням або тунельним ефектом. Експериментально тунельний ефект спостерігається для тонких потенціальних бар’єрів, коли . У таблиці 7.2 наведені коефіцієнти прозорості прямокутних бар'єрів різних товщин.

Таблиця 7.2. Прозорість прямокутного потенціального бар'єра при і різних значення його ширини .

a [Å]	1	2	5	10
	0,1	810-3	510-7	1,410-8

З таблиці 7.2 видно, що для , прозорість бар’єра має скінчені значення лише для сумірних з атомними розмірами. При більших , коли , то його прозорість прямує до нуля .

Формулу для прозорості бар’єра можна узагальнити для бар’єра довільної форми, якщо на відстанях сумірних із довжиною хвилі де Бройля суттєво не змінюється швидкість електронів. У цьому випадку бар’єр можна розбити на безліч прямокутних дуже тонких бар’єрів, як це показано на рис.7.6. За формулою (7.36) прозорість бар’єра товщиною дорівнює

.

Повний коефіцієнт прозорості бар’єра дорівнює добуткові парціальних коефіцієнтів прозорості

.

При малих значеннях сума в показнику експоненти переходить в інтеграл. Тому в загальному вигляді

. (7.37)

Рис.7.6. Потенціальний бар’єр довільної форми.

Звернемо увагу на такий парадокс. Коли в межах бар’єра повна енергія частинки менша за потенціальну енергію то це означає, що кінетична енергія частинки від’ємна. Проте парадокса ніякого не має, тому що згідно співвідношення невизначеності невизначеність кінетичної енергії більша за Дійсно,

.

Тунелювання можна спостерігати експериментально. Наведемо деякі приклади. Спочатку розглянемо тунельну емісію електронів. Нехай у першому наближенні потенціальний бар’єр на поверхні твердого тіла має форму сходинки висотою , як це показано на схематичному рис.7.7. Прикладемо різницю потенціалів між плоскими катодом та анодом. Вона створює електричне поле з напруженістю . На рис.7.7 залежність зображена прямою лінією, де - напруженість електричного поля Як видно з рис.7.7, сумісна дія двох полів створює трикутний потенціальний бар’єр. Знайдемо коефіцієнт прозорості цього бар’єра за формулою (7.37). Для цього потрібно обчислити інтеграл у показнику ступеня

, (7.38)

де розглянуто випадок, коли енергія електронів .

Рис.7.7. Трикутний потенціальний бар’єр.

Підставимо (7.38) у формулу (7.37) для прозорості бар’єра

, (7.39)

де .

Густина струму повинна бути прямо пропорційною коефіцієнту прозорості бар’єра і струм може йти навіть при . Експериментально дійсно спостерігається тунельний струм, який має такі властивості:

• струм має скінчене значення навіть при ;

• не виявляється калоричного ефекту, тому що катод не охолоджується, тобто під час емісії не витрачається енергія;

• логарифм густини тунельного струму обернено пропорційний напруженості електричного поля Усі ці властивості спостерігаються експериментально. Таким чином, тунельна емісія досить добре пояснюється за допомогою розгляду процесу проходження електронів крізь потенціальний бар’єр.

Тунельна емісія знайшла практичне застосування:

- по-перше, як джерело вільних електронів із дуже великою густиною струму (10⁶10⁹ Асм^-2),

- по-друге, як джерело інформації про структуру катода в автоелектронному проекторі,

- по-третє, як явище інжекції електронів у напівпровідникових інтегральних схемах,

- по-четверте, як джерело інформації в растрових тунельному мікроскопі й спектрометрі тощо.

Тунелювання спостерігається не тільки для електронів але й для інших частинок і є загальною їх рисою, зв’язаною із хвильовими властивостями частинок. Наприклад, за допомогою тунелювання можна пояснити особливості - розпаду атомних ядер, а також появу при цьому -частинок малих енергій. При -розпаді радіоактивних атомів полонію вилітає -частинка з енергією і часом напіврозпаду сек . Коли -частинка знаходиться в ядрі з радіусом , то її енергія буде . У той же час енергія -частинки, що вилітає з ядра, значно менша за її енергію в ядрі. Така ситуація може бути лише в тому разі, якщо допустити, що -частинка тунелює крізь потенціальний бар’єр, що існує на границі атомного ядра (рис.7.8). Задачу про тунелювання -частинки вперше сформулював і розглянув уродженець міста Одеси, видатний російський учений Георгій Антонович Гамов.

Розв’язок такої задачі показав, що прозорість бар’єра для -частинки має скінчене значення, достатнє для пояснення -розпаду ядра. Кількість актів -розпаду за інтервал часу повинно бути пропорційною - кількості ядер, що можуть розпадатись, - прозорості бар’єра для -частинок, кількості співударів -частинки з бар’єром і інтервалу часу

(7.40)

Рис.7.8. Схема потенціального бар'єра атомного ядра

Після інтегрування (7.40) отримуємо закон радіоактивного розпаду Кюрі

. (7.40*)

У реальних дослідах зручно вимірювати – період напіврозпаду радіоактивної речовини, коли . Із (7.40*) можна отримати

. (7.40**)

Кількість зіткнень -частинки з бар’єром ядра легко оцінити. знаючи їх середню швидкість у ядрі

. (7.41)

Оцінимо швидкість -частинки в ядрі за допомогою співвідношення невизначеності і підставимо її у (7.41)

(7.41*)

Вираз (7.41*) вказує, що n не залежить від енергії -частинки, тому для визначення енергетичної залежності необхідно розглянути прозорість бар’єра , який залежить від енергії частинок , що тунелюють.

За допомогою (7.37) запишемо вираз для прозорості бар’єра

ядра, у якого згідно рис.7.8 ,

. (7.42)

Тут

. (7.42*)

Обчислимо інтеграл у (7.42*) заміною змінних .

Коли , то Звідки

. (7.42***)

Підстановкою (7.42***) у співвідношення (7.42**) для й виразу для у вираз (7.40**) для маємо

, (7.43)

де . (7.43*)

Виявляється, що розрахункові значення періоду напіврозпаду збігаються з експериментальними. Крім того експеримент, як і розрахунок дає однакові енергетичні залежності . Ця залежність (7.43) отримала назву закона Гейгера-Нетола. Отже, цей приклад показав, що має місце також і тунелювання - частинок. У подальшому було експериментально показано наявність тунелювання й інших частинок.