7.5. Оператори

Повернемося тепер до розгляду рівняння Шредінґера (7.7) для стаціонарних станів

або в операторному вигляді

(7.44)

де (7.44*)

Вираз - називається гамільтоніаном. Він є оператором, який включає диференціальний оператор Лапласа і функцію координат .²¹ Цей оператор, як і будь-який інший оператор , діючи на довільну функцію , переводить її в іншу функцію . Специфіка рівняння Шредінґера полягає в тому, що гамільтоніан , діючи на хвильову функцію відтворює її з точністю до числового множника рівного .

Аналізуючи плоску хвилю де Бройля, ми отримали такі вирази для імпульсу й енергії:

(7.45)

тому можна вважати, що операторами імпульсу й енергії у квантовій механіці будуть мати такий вигляд:

(7.45)

(7.46)

Оператором будь-якої функції, яка залежить лише від координат у квантовій фізиці буде сама функція. Наприклад, оператором потенціальної енергії буде сама функція Знаючи оператори координат, імпульсів і енергій, можна знайти оператори інших фізичних величин, наприклад, моменту імпульсу і його проекцій

(7.47)

Операторні рівняння (7.447.47) указують, що середні значення фізичних величин у квантовій механіці визначатимуться за формулою

(7.48)

Формула (7.480) безпосередньо зв’язана з основним співвідношенням квантової механіки для власних значень фізичних величин

(7.49)

Ця формула вже використовувалась у §6.3 для знаходження середнього значення імпульсу.

Оператори фізичних величин повинні задовольняти двом умовам:

по-перше, лінійності, бо їх власні функції задовольняють принципу суперпозиції;

по-друге, само спряженості , бо їх середні значення – це дійсні спостережувальні фізичні величини. Такі оператори називаються ермітовими операторами.

Таким чином, у квантовій механіці зв’язок між числовими значеннями фізичних величин замінюється операторним зв’язком цих величин. При цьому визначаються власні значення й власні функції відповідних операторів. Рецепт побудови оператора фізичної величини полягає в тому. Що для операторів координат вибирають координати, а для імпульсів згідно (7.45) . Наприклад, величина Е це можливе значення енергії частинки в силовому полі , яке вимірюється з імовірністю, що визначатиметься квадратом модуля відповідної власної хвильової функції . Сукупність власних значень оператора дасть спектр допустимих значень фізичної величини цього оператора. Більш детально властивості операторів будуть вивчатись в курсі квантової механіки, але на закінчення цього розділу зауважимо, що коли оператори фізичних величин комутують, тобто виконується співвідношення

, (7.50)

то можливе одночасне вимірювання фізичних величин цих операторів. Якщо ці оператори не комутують, тобто

, (7.51)

то не можливо одночасно вимірювати відповідні фізичні величини з довільним ступенем точності. Зокрема, оператори імпульсу й координати не комутують, у чому просто впевнитись на прикладі плоскої хвилі де Бройля:

Не комутують також оператори енергії й часу Некомутативність операторів є проявом співвідношень невизначеності.