4. Співвідношення невизначеностей

Наявність у частинок хвильових і корпускулярних властивостей застерігає нас від простого переносу класичних уявлень і методів для опису і вивчення властивостей цих частинок. Хвилі – нелокалізовані, а частинки - локалізовані. Будь-яке обмеження хвильового процесу або часу його розповсюдження завжди призводить до втрати монохроматичності (моноенергетичності). При цьому, як вже було показано, мають місце такі фундаментальні нерівності:

(6.30)

(6.31)

Формули (6.30) і (6.31) часто називаються співвідношеннями або принципом невизначеностей Гейзенберга, бо на наявність зв’язку між цими величинами вперше вказав німецький вчений, лауреат Нобелівської премії 1932 року з фізики Вернер Гейзенберг.

Згідно цього принципу існує принципова границя точності вимірювання. Вона закладена в природі речовини і не може бути перевершена ніякими вдосконаленнями приладів та методів вимірювання.

Співвідношення (6.31) встановлюють допустиму межу невизначеностей та , з якими стан частинки можна характеризувати так само, як і в класичній фізиці за допомогою координат і імпульсів. Чим точніше локалізована частинка, тобто чим менше , тим більше невизначеність імпульсу , тому що . Або чим коротший проміжок часу існування будь-якого стану або інтервалу часу між послідовними вимірами, тим з меншою визначеністю можна говорити про енергію цього стану, тому що . Це співвідношення невизначеності (6.31) виникає внаслідок взаємодії системи з вимірним приладом, збурення якої не може бути меншим, ніж . Воно залишається справедливим, коли навіть – це невизначеність нестаціонарного стану замкненої системи, а – характерний час, протягом якого суттєво змінюються середні значення фізичної величини цієї системи. Таким чином, співвідношення невизначеності для енергії і часу залежить від того, чи відбувається еволюція системи за характерний час . У стаціонарних станах відсутня еволюція ( ), тому їм можна приписувати певну енергію.

Більш точні вирази для співвідношення невизначеностей мають вигляд

, (6.32)

де - середнє квадратичне відхилення фізичної величини від її середнього значення, яке можна записати таким чином .

Для енергії та часу, як показано в квантовій механіці

Перевіримо чи задовольняє принцип (співвідношення) невизначеності трьом необхідним умовам існування будь-якої теорії: 1) пояснювати попередні факти класичної фізики, 2) пояснювати нові явища, які не змогла пояснити класична фізика і 3) передбачувати нові явища.

По-перше, принцип невизначеності не суперечить дослідам класичної фізики, тому що для макротіл невизначеність знаходиться поза можливостями методів дослідження. Перевіримо це на дослідах спостереження частинок у камері Вільсона (лауреат Нобелівської премії 1927 р). Застосуємо співвідношення невизначеності для електронних треків, коли , , , тоді відносна невизначеність їх швидкості дуже мала. Для макроскопічних частинок з масою , що рухаються із швидкістю звука і для що знаходиться поза межами експериментальних можливостей.

Розгляд подібних прикладів дозволив Нільсу Бору сформулювати принцип відповідності, який полягає в тому, що квантова теорія в граничному випадку малих змін (малих квантових стрибків) фізичних величин збігається з існуючою класичною теорією. У випадках великих квантових чисел результати квантового та класичного опису збігаються. Іншими словами, якщо в процесі, що вивчається, беруть участь багато квантів, то рівняння квантової фізики збігаються з класичними рівняннями для усереднених величин.

По-друге, хвильові та корпускулярні явища узгоджуються фактом спостереженням інтерференції частинок. Розглянемо дослід визначення локалізації електрона. Обмежимо його локалізацію отвором у непрозорому екрані. Наявність електрона поза екраном означатиме, що він у певний момент часу знаходився в отворі екрана, тобто його локалізація на осі визначалась діаметром отвору . Просторовий розподіл електронів, що пройшли крізь отвір, визначається їхньою дифракцією (рис.6.2). Мінімум просторового дифракційного розподілу інтенсивності має місце за умовою:

(6.33)

Рис.6.2. Дифракція електронів на одній щілині та розподіл інтенсивності I(x).

де - діаметр отвору в екрані. Розсіяння електронів у отворі екрана змінює його імпульс у напрямку осі . Із трикутника імпульсів (рис.6.3.б) можна визначити

(6.33*)

Виключивши з рівнянь (6.34) і (6.34*), знайдемо:

(6.34)

Ми знову отримали співвідношення невизначеностей. Чим менше діаметр отвору, тим більше утворюється розкид електронних імпульсів.

Розглянемо ще один уявний дослід визначенню координати електрона за допомогою - мікроскопа (дослід Гейзенберга). Схема досліду наведена на рис. 6.3. Вздовж осі х розповсюджуються електрони з імпульсом , а вздовж осі - - кванти з імпульсом . Для того, щоб отримати зображення електрона, потрібно, щоб відбулося розсіяння - кванта електроном. Розсіяні кванти формують зображення електрона в площині зображень мікроскопа. Точність локалізації електрона залежить від роздільної здатності мікроскопа, яка обмежується дифракцією, тому

Рис.6.3. Уявний дослід з -мікроскопом.

(6.35)

де - довжина хвилі - кванта, - апертурний кут об'єктива.¹⁸

При розсіяння - кванта його початковий імпульс змінюється на величину що передається електрону

(6.36)

або з урахуванням формули (6.36)

(6.37)

Ми знову отримали співвідношення невизначеності

.

У свій час було розглянуто дуже багато таких уявних дослідів, і завжди кінцевим результатом було отримано співвідношення невизначеності. Ці властивості Н. Бор назвав принципом доповнення, згідно якому хвильові та корпускулярні властивості частинок є доповненими у тому сенсі, що експеримент, призначений для визначення величини будь-якої хвильової частинки, виключає одночасне точне вимірювання двох різновидів їхніх властивостей, тобто неможливо одночасно вимірювати хвильові і корпускулярні властивості частинок. Ця особливість відбиває об’єктивні риси квантових систем, які не зв’язані з існуванням спостерігача.

По-третє, принцип невизначеності (співвідношення невизначеності) може передбачати нові властивості мікрооб’єктів. Наприклад, оцінимо за його допомогою розмір атома водню та його повну енергію, яка складається з його кінетичної та потенціальної енергій

(6.38)

За допомогою співвідношення невизначеності (6.31) знайдемо імпульс

. (6.39)

Підставимо із (6.38) у формулу (6.37) і знайдемо мінімальне значення

(6.40)

звідки (6.41)

. (6.42)

Одержаним числам не слід надавати великого значення, тому що з нерівності визначаються лише порядки величин. Розрахункові величини і за порядком величини збігаються з експериментальними значеннями розміру атома водню і його енергії іонізації. Це означає, що включення до складу атома електрона і позитивно зарядженого ядра не суперечить співвідношенню невизначеностей, і тому така система може існувати в природі.

Розглянемо тепер ядро атома. Відомо, що під час розпаду із ядра вилітають частинки (електрони). Можна було б і в цьому разі стверджувати, що до складу ядра входять електрони. Проте це суперечить співвідношенню невизначеностей. Дійсно, розмір атомного ядра за Резерфордом становить . Знайдемо із співвідношення невизначеності невизначеність швидкості. Вона становить , що значно перевищує швидкість світла . Таким чином, приходимо до висновку, що електрон не може входити до складу атомного ядра. Він народжується в процесі - розпаду. Обрахуємо також енергію цих електронів.

Вона виявляється значно більшою експериментального значення Е. Отже ми ще раз показали, що електрон не може входити до складу атомного ядра. Подібний аналіз наштовхнув на думку Д. Д. Іваненка і В. Гейзенберга (незалежно) висловити гіпотезу про те, що атомне ядро складається із нейтронів і протонів.

По-четверте, знаючи час життя системи в збудженому стані , ми завжди можемо оцінити ширину випромінюваної спектральної лінії, бо

.

Ця оцінка досить добре збігається з експериментальними результатами.