9.6. Сума моментів кількості руху

Коли атом має орбітальний момент і спін , то вони векторно складаються і утворюють сумарний момент кількості руху (сумарний кутовий момент) (рис.9.5).

Рис.9.5. Схема складання орбітального і спінового моментів.

. (9.19)

Кожний із векторів цієї суми квантований, тобто повинен визначатись за абсолютною величиною квантовими числами

, (9.20)

, 9.21)

, (9.22)

де введено нове квантове число , яке визначає сумарний момент кількості руху за абсолютною величиною. Проекції моментів кількості руху, як і раніше, визначаються магнітними квантовими числами за формулами

(9.23)

Число називається внутрішнім квантовим числом.

Кожний із векторів , , здійснює прецесію²⁴ навколо осі , тому визначеними будуть лише їх абсолютні величини і проекції на вісь z.

Знайдемо тепер максимальне і мінімальне значення квантових чисел та . Максимальне значення квантового числа отримаємо із максимального значення суми проекції векторів та . В цьому випадку

,

оскільки

Коли ці проекції антипаралельні, то маємо

Отже квантове число j повинно знаходитись у межах

(9.25)

Нерівність (9.25) дозволяє визначити всі можливі значення квантового числа , бо вони відрізняються одне від іншого на ціле число. Для перевірки цього твердження запишемо можливу кількість станів вектора . Вона визначається кількістю можливих станів числа m_ тобто числом . Кількість станів вектора визначається співвідношенням . Повна кількість станів з двома незалежними значеннями векторів є добутком

.

Знайдемо тепер повну можливу кількість станів вектора , коли квантове число набуває всі можливі значення, що визначаються нерівністю (9.25). Коли , кількість таких станів буде

,

а коли ,

.

Отже для двох випадків ми отримали однакову кількість станів сумарного вектора моменту кількості руху , яка дорівнює кількості станів незалежних векторів та . Тому нерівність (9.25) дійсно дозволяє знаходити можливі значення квантового числа j, котре набуває такі значення:

для , тобто приймає значень

для , тобто приймає значень.

9.7. Тонка структура спектрів складних атомів як наслідок спін-орбітальної взаємодії

Взаємодія спіну з орбітальним моментом електрона характеризується енергією взаємодії . Її можна оцінити, розглядаючи взаємодію магнітних моментів між собою або одного з магнітних моментів з магнітним полем, зв’язаним з другим магнітним моментом, наприклад, спінового магнітного моменту з магнітним полем орбітального магнітного моменту :

. (9.26)

Оскільки , a , то зміна енергії збільшується або зменшується в залежності від орієнтації спіну, що визначає знак квантового числа m_s . Щоб оцінити величину цієї енергії, необхідно знати магнітне поле . Для його визначення розглянемо орбітальний рух електрона навколо атомного ядра в системі координат, зв’язаній з електроном (рис.9.6.б). У цій системі координат електрон знаходиться у спокої, а атомне ядро рухається навколо нерухомого електрона. Рух позитивно зарядженого ядра створює магнітне поле з напруженістю або для випадку атома водню і . Позначимо швидкість електрона у