8.6. Просторове квантування

Формула (8.39) є умовою просторового квантування. Просторове квантування полягає в тому, що при вимірюванні проекції моменту кількості руху ми обов’язково отримаємо значення, кратне , і цих проекцій буде стільки, скільки значень має магнітне число .

До вимірювання хвильова функція будь-якого фізичного стану може бути представлена у вигляді суперпозиції власних значень оператора проекції моменту кількості руху , які розрізняються значеннями магнітного квантового числа

. (8.42)

До вимірювання вектор не має визначеної орієнтації у просторі.

Після вимірювання, в процесі якого треба обов’язково прикласти силове поле вздовж осі , фіксується певне значення проекції моменту кількості руху . Ймовірність знайти цю проекцію визначається величиною . Тому, після вимірювання хвильова функція відрізняється від її значення до вимірювання

У квантовій механіці строго доводиться, що - оператори проекцій моментів кількості руху на вісях і не комутують між собою, тобто виконуються такі співвідношення

(8.43)

Ці співвідношення можна досить просто довести, якщо згадати, що оператори моменту кількості руху і його проекції мають такий вигляд

Рис.8.2. Прецесія моменту кількості руху.

Некомутативність, або виконання співвідношень (8.43), означає, що одночасно не можна точно вимірювати хоча би дві проекції моменту кількості руху. Вимірювання проекції моменту кількості руху уявно допускає, що для цього потрібно включити поле, щоб визначити напрям осі, на яку проектується момент кількості руху. Наявність поля призводить до появи моменту сил, під дією якого починається прецесія моменту кількості руху навколо цієї вісі. Вектор моменту кількості руху починає обертатись навколо цієї осі і тому дві інші проекції стають невизначеними (рис.8.2). Тому оператор моменту кількості руху не має власних функцій і власних векторних значень. Некомутативність проекцій вектора є наслідком того, що вектор залежить від і , які не можна, згідно співвідношення невизначеності, одночасно вимірювати, тому що

Разом з тим одночасно можна визначати і , бо вони комутують

(8.44)

Ці співвідношення можна також перевірити підставивши вирази для проекцій моменту кількості руху (8.43) і вираз для оператора квадрата моменту кількості руху (8.33) у (8.44).

Комутативність і однієї із його проекцій означає, що їх можна одночасно вимірювати, але вимірювання призведе до невизначеності двох інших проекцій моменту кількості руху. Покажемо це на такому прикладі. Нехай задано значення квантового числа . Воно визначить величину квадрата моменту кількості руху

або його абсолютну величину при будь-якому

. (8.45)

Із співвідношення (8.45) видно, що вимірювання максимального значення проекції моменту кількості руху, наприклад _, призводить до того, що і стають невизначеними, бо

. (8.46)

Можливість вимірювати одночасно момент кількості руху і одну із його проекцій називається просторовим квантуванням. Як видно, просторове квантування в квантовій механіці суттєво відрізняється від просторового квантування в моделі Бора-Зомерфельда тим, що і не повністю визначає орієнтацію моменту кількості руху у просторі.

Рис.8.3. Проекції кутового моменту кількості руху при і .

До вимірювання ми їх не знаємо. Після вимірювання ми знаємо лише і одну із його протекцій . На схематичному рис. 8.3 наведені можливі випадки вимірювання абсолютного значення моменту кількості руху і його проекції для двох випадків для і . Процесія вектора під час вимірювання однієї з проекцій (рис.8.2) створює невизначеність для двох останніх його проекцій.