7.2. Найпростіші випадки розв’язку рівнянь Шредінґера

1. Частинка в потенціальній ямі з нескінченними стінками

Розглянемо частинку в потенціальній ямі з нескінченими стінками, для якої потенціал має вигляд:

.

Розіб’ємо весь простір (одновимірна задача рис.7.1) на 3 області: 1 - , 2 - і 3 - Для цих областей маємо 3-и рівняння:

(7.10)

Рис.7.1. Прямокутна потенціальна яма з нескінченими стінками.

або , (7.10*)

де (7.11)

має розмірність см^-1. Загальний розв’язок рівняння (7.10) має вигляд

(7.12)

де А і В довільні сталі. Їх можна визначити з таких граничних умов:

1. в областях 1 і 2, де , частинка існувати не може, бо не може мати нескінчену енергію, звідки і ;

1. умова неперервності хвильової функції дає

(7.13)

Із цих рівнянь знаходимо:

та (7.13*)

де - ціле число, яке пробігає значення

Підставимо в (7.13*) із формули (7.11), тоді

(7.14)

(7.15)

Проаналізуємо отримані результати.

• По-перше, енергетичний спектр частинки всередині потенціальної ями дискретний;

• По-друге, відсутній рівень із квантовим числом , бо це суперечить співвідношенню невизначеностей. Дійсно, якщо , то згідно (7.13), і , а співвідношення невизначеності дає таке значення для , що вимагає локалізації електрона у всьому просторі, а не в межах бар'єру;

• По-третє, інтервал між дискретними рівнями енергії залежить від ширини потенціальної ями та квантового числа n

(7.16)

У таблиці 7.1 наведені дані для при різних .

Таблиця 7.1. Значення при різних а - ширина потенціальної ями

а [Å]	1	10	100	1000
	0,810-10	0,810-12	0,810-14	0,810-16
	0,5102	0,5	0,510-2	0,510-4

Експериментально виявити дискретні рівні енергії можливо лише тоді, коли . Для і

Ці квантові властивості твердого тіла малих розмірів дійсно спостерігаються експериментально й називаються квантовим розмірним ефектом, який останнім часом знайшов застосування в наноелектроніці.

• По-четверте, під час переходу з одного стаціонарного стану з енергією в інший з енергією відбувається поглинання або випромінювання кванта енергії .

7.2.2. Частинка в потенціальній ямі зі скінченними стінками

У випадку потенціальної ями зі стінками скінченої висоти розв’язок задачі знаходиться так, як і для ями з нескінченими стінками. (див. задачу №2, розділ 5 [1]).

Ця задача буде розв’язуватись на практичних заняттях. Результати розв’язку такі:

• По-перше, частинки мають при неперервний спектр енергії, як і у вільної частинки.

• По-друге, при спектр енергії частинки дискретний і для найглибших рівнів збігається з попереднім випадком ями з нескінченими стінками.

• По-третє, не існує рівня енергії із квантовим числом , тому що це суперечить співвідношенню невизначеностей.

• По-четверте, на відміну від попереднього випадку ями з нескінченими стінками для ями зі скінченими стінками хвильові функції не прямують до нуля на його стінках, а плавно (експоненціально) затухають у середині стінки ями, як це показано на схематичному рис.7.2.

Рис.7.2. Потенціальна яма зі скінченими стінками: а – хвильові функції для , – модуль квадрата хвильової функції.