Рис. 20.11. Рентгенівський спектр випромінювання

(А) та його енергетичні рівні (б).

Розподіл інтенсивності рентгенівських спектрів, які утворюються цими переходами, пропорційний густині не заповнених електронних станів. Приклад такого розподілу показаний на рис.20.11.а. Видно, що поблизу енергії Фермі розподіл електронів у зоні провідності зростає приблизно пропорційно , як і для випадку вільних частинок, але на дні зони провідності при малих спостерігаються відхилення.

20.7. Динаміка електронів, ефективна маса, електрони та дірки

Динаміка вивчає рух частинок або квазічастинок з урахуванням дискретної структури кристалів. У відсутності зовнішнього поля електрони (квазічастинки) в ідеальному кристалі з будь-якими хвильовими векторами (або квазіімпульсами ) знаходяться в стаціонарних станах. Зовнішнє електричне поле змінює квазіімпульс електрона , а це змінює його групову швидкість

, (20.30)

де - ефективна маса електрона, а - сила, що діє на електрон. Групова швидкість залежить від закону дисперсії ⁴³.

. (20.31)

Комбінуючи (20.23) і (20.24), отримаємо

, (20.32)

де . Поділивши праву та ліву частини (20.32) на , остаточно отримаємо:

(20.33)

Отже, ми отримали, що квазічастинка-електрон під дією зовнішньої сили рухається в періодичному полі кристала, як вільний електрон з ефективною масою . Ефективна маса - це параметр, який враховує особливості руху квазічастинки - електрона в кристалі. Вона залежить від дисперсії і може суттєво відрізнятись від маси вільного електрона. Вона навіть може змінювати свій знак і бути від'ємною. На границях зон похідна , і закон дисперсії наближається до квадратичного закону , де - енергія квазічастинок на границі зони. Це означає, що на границях зон, де мають місце екстремуми дисперсійної залежності, дисперсійна залежність наближено може бути апроксимована квадратичним законом дисперсії, притаманним вільним квазічастинкам, але з ефективною масою відмінною від ефективної маси вільної частинки. Знак ефективної маси визначається знаком множника А у виразі для наближеного квадратичного закону дисперсії. Ефективна маса в цьому випадку враховує особливості зонної будови твердого тіла.

Скористаємося законом дисперсії моделі Кроніга-Пені (рис.20.12) і згадаємо, що квазіімпульс визначається з точністю до , тобто . Тому, крім розширених зон , у яких різні енергетичні зони зміщені в різні зони Бріллюена, використовують ще й так званні приведені зони, у яких усі енергетичні зони розміщені в 1-й зоні Бріллюена. Крім розширених і приведених зон на рис.20.12 наведена ще й періодична зонна структура, у якій кожна енергетична зона повторюється у всіх зонах Бріллюена.

Рис. 20.12. Спектр електронів у моделі Кроніга – Пені: а) – дисперсія, б) - приведені зони, в) – періодична зонна схема. 1-ша, 2-га і 3-тя заборонені та дозволені зони.

При побудові приведених зон ділянки дисперсійної кривої переносяться вздовж осі на величину в область першої зони Бріллюена, де . Наприклад, рис.20.12.б в 2-й зоні Бріллюена зміщена на по осі , а в 3 - й зоні на . Нехай 1-ша й 2-га дозволені зони заповнені, а 3-тя дозволена зона незаповнена. Тоді 2-га зона буде валентною, 3-тя зона зоною провідності. Видно, що на дні зони провідності залежність має мінімум, тому і ефективна маса на дні цієї зони буде позитивною Залежність біля стелі заповненої валентної зони проходить через максимум, тому і ефективна маса біля стелі цієї зони буде негативною , (рис.20.13). Від'ємна ефективна маса означає, що квазічастинка рухається в електричному полі, як позитивно заряджена частинка.

Рис.20. 13. Найпростіша дисперсійна крива (а) та залежність ефективної маси носіїв заряду від хвильового вектора (б) біля країв зони Бріллюена.

Квазічастинка з від'ємною ефективною масою називається діркою. Вона розглядається, як квазічастинка з і позитивним зарядом . Квазічастинка з позитивною ефективною масою і негативним зарядом називається електроном.

Величина ефективної маси квазічастинок вимірюється за допомогою циклотронного резонансу (§16.7), бо його циклотронна частота залежить від ефективної маси Вона залежить ще й від напрямку в кристалі, бо це тензор, тому що ізоенергетичні поверхні в тривимірному кристалі можуть мати складну форму.