Глава 7. Рівняння шредінґера

7.1. Рівняння Шредінґера

Стан частинки у вільному від сил просторі, визначається плоскою хвилею де Бройля Інші стани описуються більш складними хвильовими функціями. Основна задача квантової механіки це пошуки такого рівняння, розв’язок якого дозволяло б знаходити хвильові функції для всіх станів частинок у будь-яких полях. Таке рівняння, як і інші фундаментальні рівняння фізики, не виводиться, а постулюється на основі узагальнення існуючого досвіду, і перевіряється на різноманітних прикладах його застосування при розв’язуванні конкретних задач.

Рівняння для хвильової функції було запропоновано австрійським фізиком, лауреатом Нобелівської премії 1933 року Ервіном Шредінґером (1887-1961).

Хід його роздумів був приблизно таким.

• По-перше, силові поля, що діють на частинки, повинні бути записані так, щоб їх можна було використати для розв’язку найбільш широкого кола задач. Виявилось, що такі поля зручно описувати потенціальною енергією або потенціалом.

• По-друге, хвильове рівняння повинно бути лінійним та однорідним, бо цим буде забезпечено виконання принципу суперпозиції.

• По-третє, одним із розв’язків хвильового рівняння для випадку, коли або , повинна бути плоска хвиля де Бройля.

• По-четверте, повинен виконуватись закон збереження та перетворення енергії. Для голономної системи,¹⁹ у якій відсутня взаємодія зі сторонніми силами, гамільтоніан системи записується:

(7.1)

де - кінетична енергія, - потенціальна енергія, і - узагальнені координати та імпульси відповідно.

Знайдемо тепер таке рівняння, розв’язком якого була б плоска хвиля де Бройля Для цього визначимо і

(7.2)

(7.3)

Підставимо (7.2) і (7.3) у вираз для повної енергії

(7.4)

Ми отримали лінійне, однорідне рівняння, розв’язок якого при є плоска хвиля де Бройля. Воно називається рівнянням Шредінґера.

Можна очікувати, що рівняння Шредінґера буде також описувати стани частинок у полях з іншими значеннях потенціалу . Це неодноразово перевірялось розглядом багатьох задач, де конкретні умови задачі враховувались вибором потенціалу й граничних умов, і було досить переконливо підтверджено порівнянням з експериментом.

Рівняння Шредінґера має такі основні риси:

• По-перше, воно відрізняється від - рівняння хвилі тим, що в нього входить перша, а не друга похідна від часу, і не входить уявне число . Тому рівняння називається хвильовим рівнянням, а не рівняння хвилі.

• По-друге, воно нерелятивістське, бо не інваріантне до перетворень Лоренца й не враховує залежності релятивістської маси від . Воно також не враховує, що частинки можуть народжуватись й зникати, наприклад, при анігіляції.

• По-третє, хвильове рівняння лінійне та однорідне відносно функції . Тобто, якщо та є розв’язками рівняння Шредінґера, то і їхня лінійна комбінація теж є розв’язком цього рівняння.

• По-четверте, особливості різних систем та випадків ураховуються за допомогою потенціалу

Особливе місце у фізиці займають стаціонарні стани. Вони є фундаментальним вихідним положенням опису фізичного світу. У стаціонарних станах рух частинок не залежить від часу й відбувається при . У квантовій механіці, на відміну від класичної механіки, де корпускула рухається в просторі зі зміною часу (за певними траєкторіями), рух корпускул і їх систем розуміють у більш широкому філософському змісті (за Аристотелем), як взагалі зміну стану. Рух у стаціонарному стані зв’язують не з перебуванням у ньому, а зі зміною цього стану. Тому фізику найбільш цікавлять переходи з одного в інший стаціонарний стан. Якщо ми бачимо щось у Всесвіті, то це означає, що Всесвіт не знаходиться в стаціонарному стані, і ми сприймаємо сигнали від переходів між стаціонарними станами.

Хвильові функції стаціонарного стану можуть залежати від часу , тому що вони фізично не спостерігаємі величини. Фізичний зміст має лише квадрат модуля хвильової функції, тому вона має бути комплексною:

(7.5)

Тоді густина ймовірності визначається лише тією частиною хвильової функції, яка залежить від координат і не залежить від часу

(7.6)

Підстановкою виразу (7.5) у рівняння Шредінґера (7.4) знайдемо

або

(7.7)

Рівняння (7.7) - це нерелятивістське хвильове рівняння Шредінґера для стаціонарних станів. Окремі випадки визначаються виглядом функції

З усіх можливих розв’язків рівняння (7.7) вибирають лише хвильові функції, які задовольняють таки вимогам:

- неперервності,

- однозначності,

- скінченності,

- ортонормованості

(7.8)

===========================================================

У випадку трансляційної симетрії, коли , частинка не вільна і її спектр дискретний. Однак і в цьому разі можна записати

, (7.8*)

де - дельта функція Дірака.

Необхідно окремо розглянути випадок хвильової функції вільної частинки, що рухається в необмеженому просторі

Для фіксованого часу, коли ,

Нормування цієї функції дає

.

Розглянемо випадок різних

де - дельта - функція Дірака, для якої

Тоді умова нормування записується за допомогою –дельта - функції Дірака, яка має розмірність :

===========================================================

Аналіз показує, що для випадків, коли , задовольнити умовам скінченності, однозначності, неперервності й ортонормованості можна лише при певних власних значеннях Е, які можуть бути дискретними або неперервними. Тому розв’язок рівняння Шредінґера дає:

- спектр власних значень Е та

- набір ортонормованих хвильових функцій

Перехід з одного стаціонарного стану із хвильовою функцією і енергією до іншого стаціонарного стану з і відбувається при зміні енергії стану на певну величину , наприклад, з випромінюванням або поглинанням кванта електромагнітних хвиль із частотою , енергія якого визначається правилом частот Бора:

(7.9)

Для отримання цього правила у системі двох стаціонарних станів скористаємося принципом суперпозиції. Крім станів з і існує також змішаний стан із густиною ймовірності

Підставимо в цей вираз хвильові функції 1-го й 2-го стаціонарних станів у вигляді 0 тоді

(7.9*)

Густина ймовірності стану крім сталого члену включає інтерференційний член, що гармонічно коливається з частотою Бора від значення до значення . Цей розгляд дозволяє допустити, що перехід між стаціонарними електронними станами супроводжується випромінюванням або поглинанням кванту світла із частотою .