8.7. Радіальна частина хвильової функції електрона атома водню

Рівняння радіальної частини хвильової функції електрона в атомі водню має вигляд:

, (8.47)

де згідно з (8.23) а згідно (8.10*) і (8.6) , а , у якому частинні похідні від r замінені повними похідними, бо функція залежить від однієї змінної . Тоді

, (8.48)

де

Спочатку проаналізуємо у формулі (8.48) вираз у дужках,

. (8.49)

Його можна розглядати як ефективний потенціал , до складу якого, крім електростатичного потенціалу, входить ще й енергія кутового руху. Залежність цього потенціалу від відстані між електроном і ядром наведена на схематичному рис.8.4.

Для ефективний потенціал має форму потенціального бар’єра, тому енергетичний спектр власних значень буде неперервним, як у вільного електрона.

Для ефективний потенціал має форму потенціальної ями, тому електрон в цій ямі матиме дискретний спектр власних енергій.

Рис.8.4. Залежність потенціалу від відстані :

Розв’язок рівняння (8.48) знаходять у вигляді спеціальних поліномів Лягера:

, (8.50)

де окремі члени у (8.50) зв’язані співвідношенням

Проаналізуємо власні значення рівняння (8.48). Введемо позначення: Тоді рівняння (8.48) стає наступним:

. (8.51)

Розглянемо асимптотичні розв’язки (8.51). При

де , бо при .

У випадку, коли , в (8.51) повинні залишитися члени з максимальним показником степені

. (8.52)

Розв’язок (8.52) будемо шукати у вигляді . Це дає наступне:

(8.53)

(8.53*)

Залишаємо лише перший корінь , бо при і . Тому залишається тільки .

Будемо шукати розв’язок (8.51) у вигляді

(8.54)

Після підстановки (8.54) у (851) отримаємо рівняння відносно :

(8.55)

Нехай

. (8.56)

Для того щоб ряд (8.56) при та при прямував до нуля, він повинен починатись членом

(8.57)

Підстановкою (8.57) у (8.51) одержимо тотожність

(8.58)

Прирівняємо коефіцієнти при однакових показниках степенів

(8.59)

Із (8.59) отримаємо рекурентне співвідношення:

. (8.60)

Для того щоб ряд (8.56) був скінченним, потрібно, щоб з певного номера його коефіцієнти дорівнювали нулю, тобто виконувалась умова

. (8.61)

Скориставшись позначеннями використаними в (8.51), маємо:

. (8.61*)

Комбінуючи (8.60) і (8.61), остаточно запишемо вираз для власного значення енергії електрона

, (8.62)

де . Позначимо тоді

, (8.63)

де - головне квантове число. Його фізичний зміст полягає в тому, що воно визначає власні енергії (енергії стаціонарних станів) електрона в атомі водню. Головне квантове число набуває всі значення від 1 до 

Розглянемо найпростіший випадок стану , коли , а . Для нього із (8.51) та (8.56) можна записати

. (8.64)

Перевіримо, чи (8.64) є розв’язком рівняння (8.46). Для цього підставимо (8.64) в (8.48)

(8.65)

(8.66)

Воно стає тотожністю, коли коефіцієнти при членах з однаковими степенями від стають рівними нулеві

; (8.67)

або . Тоді , де – радіус Бора. Таким чином, ми отримали вираз для енергії основного стану електрона в атомі водню, коли .