Раздел 3 Расчет на устойчивость

Расчетом на устойчивость определяют величину сжимающей критической нагрузки P_кр, при которой прямолинейный сжатый стержень оказывается в опасном (критическом) состоянии безразличного равновесия, т.е. переходит к новой криволинейной форме равновесия. Отношение критической нагрузки к действующей величине P называется коэффициентом запаса устойчивост и n_у.

Запас устойчивости n_у, из-за возможной эксцентричности приложения нагрузки, искривления стержня и неоднородности, всегда принимается несколько больше коэффициента запаса статической прочности n_σ. Рекомендуемые величины коэффициента запаса устойчивости для стальных стоек находятся в пределах n_у =1,5÷3.

Расчет на устойчивость можно проводить как по аналитическим зависимостям, так и по коэффициентам снижения основного допускаемого напряжения.

3.1 Расчет на устойчивость по аналитическим зависимостям

Различают три вида расчетов на устойчивость по аналитическим зависимостям: проверочный расчет, определение допускаемой нагрузки и проектировочный расчет.

1) Проверочный расчет. Цель этого расчета в оценке устойчивости рассчитываемого элемента при действии на него заданной внешней нагрузки.

Расчет проводим в несколько этапов.

а). Вычисляем гибкость стержня λ и предельное значение гибкости λ_пред по формулам:

, , , где

μ - коэффициент приведения длины, учитывающий характер закрепления концов стержня;

l – длина стержня;

I_min- минимальный главный центральный момент инерции сечения;

σ_пц – предел пропорциональности материала стержня;

E – модуль упругости материала стержня.

б). Определяем критическую нагрузку Р_кр.

В зависимости от гибкости сжатые стержни условно делим на три группы:

- стержни большой гибкости (λ≥ λ_пред), для которых критическую нагрузку Р_кр определяем по формуле Эйлера:

- стержни средней гибкости (λ₀≤λ≥ λ_пред), для которых расчет на устойчивость проводим по формуле Ясинского:

P_кр = σ_кр F,

,

λ₀ ≈ (0,2-0,4)λ_пред

где σ_кр – критические сжимающие напряжения;

F – площадь поперечного сечения стержня;

σ_тс – предел текучести материала стержня на сжатие.

Либо расчет проводим по формуле Кармана:

, ,

где I₁, I₂ - моменты инерции площадей зон догрузки и разгрузки относительно нейтральной оси.

I – момент инерции всего сечения относительно главной центральной оси;

E_пр - приведенный модуль или модуль Кармана;

E_к- касательный модуль упругости;

Е- модуль упругости.

- стержни малой гибкости (λ₀≤λ), для которых расчет на устойчивость не проводим, а проверяем их прочность на сжатие.

в). Определяем коэффициент запаса устойчивости и сравниваем полученное значение запаса устойчивости с требуемым значением.

2) Определение допускаемой нагрузки. В этом расчете определяем максимально допустимое значение сжимающей силы, при которой будет обеспечен требуемый запас устойчивости n_у. Также как и в проверочном расчете определяем значение критической нагрузки Р_кр. Затем по найденному значению критической нагрузки Р_кр и заданному значению запаса устойчивости n_у определяем допустимую величину сжимающей нагрузки .

3) Проектировочный расчет. Расчет заключается в определении требуемых размеров стержня, при которых он будет обладать требуемым запасом устойчивости.

Поскольку размеры сечения неизвестны и, следовательно, гибкость стержня не может быть определена, то расчет вначале ведем по формуле Эйлера, предполагая, что гибкость стержня не меньше предельной. В этом случае условие устойчивости имеет вид:

Учитывая, что , определяем потребный минимальный момент инерции сечения:

Задаемся формой и размерами сечения и вычисляем радиус инерции i, гибкость стержня λ и предельное значение гибкости λ_пред по формулам:

, , , λ₀ ≈ (0,2-0,4)λ_пред

Если при выбранных размерах λ₀≤λ≥ λ_пред, то расчет на устойчивость повторяем. В этом случае потребную площадь поперечного сечения определяем по формуле:

Критические напряжения σ_кр определяем либо по формуле Ясинского:

,

либо по формуле Кармана:

Пример 10.13

Определить запас устойчивости продольно нагруженной стойки (рис. 11.28а) при двух вариантах ее изготовления из двух швеллеров №5 и двух полос (рис. 11.28б, в). При расчете принять P=200 кН. Материал стойки- сталь с механическими характеристиками σ_пц=220 МПа, σ_т=280 МПа, Е=2×10⁵ МПа.

Рисунок 10.28

Решение.

I. Рассмотрим первое расположение швеллеров, приведенное на рисунке 10.28б.

1. По ГОСТ 8240-72 для швеллера №5 находим:

F_шв = 6,16×10^-4 м²,

I_{z шв} = 22,8×10^-8 м⁴, i_{z шв} = 1,92 10^-2 м,

I_{y1 шв} = 5,61×10^-8 м⁴, i_{y шв} = 0,954 10^-2 м.

2. Вычислим моменты инерции сечения, показанного на рис. 10.28б, относительно осей z и y.

3. Определим гибкость стержня.

Минимальным оказался момент инерции относительно оси y, следовательно:

, где

F= 2(F_шв+F_пол) = 2(6,16+7×0,6)×10^-4 = 20,72×10^-4 м²

Гибкость стержня:

, где μ = 2 для жесткой заделки стержня с одной стороны.

Определим предельное значение гибкости:

4. Так как λ<λ_пред, формула Эйлера неприменима, поэтому критическую силу вычисляем по зависимости Ясинского:

P_кр = σ_кр×F = 223,8 ×10⁶ ×20,72×10^-4= 463,7 кН, где

.

5. Определим коэффициент запаса устойчивости:

, что меньше требуемого запаса устойчивости на %

II. Рассмотрим второе расположение швеллеров, приведенном на рисунке 10.28в.

1. Очевидно, что момент инерции сечения относительно оси z не изменится I_z = 112×10^-8 м⁴

В этом случае стойка практически равноустойчива во всех направлениях I_z ≈ I_y.

2. Определим гибкость стержня.

Минимальным оказался момент инерции относительно оси y, следовательно:

.

Гибкость стержня:

, где μ = 2, так как стержень жестко заделан с одной стороны.

3. Так как λ<λ_пред, критическую силу вычислим по эмпирической зависимости Ясинского:

P_кр = σ_кр×F = 235,5 ×10⁶ ×20,72×10^-4= 487 кН, где

.

4. Определим коэффициент запаса устойчивости:

, что меньше требуемого запаса устойчивости на

Пример 10.14

Определить напряжение и проверить прочность тяги 6-7 двойного управления рулем высоты при действии на каждую штурвальную колонку (рис. 10.29) расчетной нагрузки Р^р=1,8 кН в двух направлениях, если H=0,8 м, r=0,08 м, l_6-7=1,2 м. Тяга выполнена трубчатого сечения D×d=45×40 мм из алюминиевого сплава с характеристиками σ_в=440 МПа, Е=7×10⁴ МПа, σ_пц=350 МПа.

Рисунок 10.29

Решение.

1. Определим усилия в стержнях.

При изменении направления усилия на штурвальную колонку усилия в тягах только изменят знак.

2. Определим геометрические характеристики сечения тяг.

Для кольцевого сечения:

площадь сечения-

осевой момент инерции-

радиус инерции-

3. Определим напряжение в тяге 6-7:

4. Проверим прочность тяги 6-7 на растяжение:

а) запишем условие прочности:

109,1≤420

б) определим коэффициент избытка прочности:

5.Проверим прочность тяги 6-7 на сжатие:

а) Определим гибкость стержня.

, где μ = 1, так как стержень шарнирно оперт с обоих краев.

б) Определим предельное значение гибкости:

Так как λ>λ_пред , то критическую силу определим по формуле Эйлера:

в) Определим коэффициент запаса устойчивости: