1.3 Расчет на прочность и жесткость при кручении

Считается, что брус (вал) сплошного или тонкостенного сечения разрушиться, если максимальное касательное напряжение, возникающее в нем, достигнет предельного касательного напряжения материала, из которого он выполнен.

Условие разрушения имеет вид:

Наибольшее касательное напряжение определяют для наиболее напряженного сечения вала по формуле:

τ_max = M_x/W_кр, где

М_x - крутящий момент;

W_кр - момент сопротивления кручению.

Для вала внешние крутящие моменты зачастую неизвестны, а задаются передаваемые мощности. В этом случае крутящие моменты определяют по формуле:

[Нм], где

Р- мощность выраженная в ваттах,

ω- угловая скорость вращения вала, измеряемая в радианах в секунду.

Если задана частота вращения вала в оборотах в минуту n, то угловую скорость можно найти по формуле:

.

Для пластичных материалов предельным напряжением будет предел текучести τ_т. В связи с тем, что существует связь между характеристиками при сдвиге и растяжении, то:

τ_т  (0,5 - 0,65) _тр

Для хрупких материалов предельным напряжением будет предел прочности при сдвиге τ_В. Следовательно:

Для вала обладающего достаточной прочностью должно выполняться условие прочности:

τ_max  [τ], где

τ_max - наибольшее касательное напряжение,

[τ] - допускаемое касательное напряжение.

Допускаемое касательное напряжение - это минимальное напряжение, которое можно допустить при работе, и при котором будет обеспечен требуемый запас прочности n_τ:

[τ] = τ_пред/n_τ, где

τ_пред - предельное напряжение,

n_τ - запас прочности.

Кроме необходимости соблюдения условий прочности иногда предъявляются требования необходимой жесткости, т.е. чтобы максимальный угол поворота сечения бруса _max не превышал допускаемое значение []:

_max  []

Очень часто условие жесткости при кручении выражают через относительный угол закручивания:

θ_max  [θ]

Обычно относительный угол закручивания вала лежит в интервале 0,25 град/м до 1 град/м.

Таким образом, при проектировочном расчете потребные размеры поперечных сечений определяют из условий прочности и жесткости:

τ_max  [τ], θ_max  [θ]

Из двух значений жесткости поперечного сечения выбирают наибольшее, так как он будет удовлетворять одновременно двум условиям.

Пример 10.5

От электродвигателя на вал 1 передается мощность Р=20 кВт. С вала 1 поступает на вал 2 мощность P₁=15 кВт и к рабочим машинам мощности Р₂=1 кВт и Р₃=3 кВт, с вала 2 к рабочим машинам поступают мощности Р₄=7 кВт, Р₅=4 кВт и Р₆=4 кВт (рис. 10.6). Определить диаметры валов d₁ и d₂ из условий прочности и жесткости, если [τ]=25 Н/мм², [θ]=0,25 град/м. Сечения валов 1 и 2 считать по всей длине постоянными. Модуль сдвига материала валов G=810¹⁰ Н/м². Частота вращения вала электродвигателя n=970 об/мин; диаметры шкивов D₁=200 мм, D₂=400 мм, Dз=200 мм, D₄=600 мм.

Рисунок 10.6

Решение.

1. Определим частоту вращения, угловую скорость вала 1 и внешние крутящие моменты М₁, М₂, М₃. На вал поступает мощность P, а с вала снимаются мощности P₁, P₂, P₃.

2. Строим расчетную схему вала 1 и эпюру крутящих моментов для вала (рис. 10.7). При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем моменты, соответствующие мощностям Р₃ , Р₁ и Р₃ положительными, а Р ‑ отрицательным. Расчетный (максимальный) крутящий момент M_max = 354,5 Н м.

Рисунок 10.7

Условие прочности:

Диаметр вала 1:

Условие жесткости:

Диаметр вала 1:

Окончательно принимаем с округлением до стандартного размера:

d₁ = 58 мм.

3. Для вала 2 определим частоту вращения n₂, угловую скорость ω₂ и внешние крутящие моменты М₁, М₄, М₅. На вал поступает мощность P₁, а с вала снимаются мощности P₄, P₅, P₆.

4. Строим расчетную схему вала 2 и эпюру крутящих моментов для вала (рис. 10.8). При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем моменты, соответствующие мощностям Р₄ , Р₅ и Р₆ положительными, а Р₁ ‑ отрицательным.

Рисунок 10.8

Расчетный (максимальный) крутящий момент M_max = 470 Н м.

Условие прочности:

Диаметр вала 2:

Условие жесткости:

Диаметр вала 2:

Окончательно принимаем с округлением до стандартного размера:

d₂ = 62 мм.

Пример 10.6

Тонкостенная труба постоянного поперечного сечения в форме двухзамкнутого профиля нагружена крутящим моментом M_x= 8,3 кНм. Толщины δ и длины средней линии сечения S на криволинейных участках и вертикальных стенках приведены на рисунке 10.9.

Площади ограниченные средними линиями контуров сечения:

F_к1=0,068 м²,

F_к2=0,25 м²_.

Труба выполнена из алюминиевого сплава с модулем упругости на сдвиг G=27,710³ МПа. Определить избытки прочности и жесткости, если [τ]=190 МПа, [θ]=0,25 град/м.

Рисунок 10.9

Решение.

Поток касательных напряжений, возникающий внутри области, занятой сечением, представим, как сумму двух потоков, каждый из которых охватывает один из контуров (рис. 10.10).

Рисунок 10.10

Поток во внутренней стенке представим как разность двух основных потоков, возникающих в этой стенке:

q₁₂= q₁ – q₂,

Для определения потоков воспользуемся зависимостью определения относительного угла закручивания при кручении бруса тонкостенного сечения:

Для каждого из контуров запишем соответствующие соотношения:

(1)

(2)

Так как относительные углы поворота контуров равны, то приравняв правые части, получим уравнение:

(3)

Дополнительно запишем уравнение равновесия:

M_x = 2q₁ F_к1 + 2q₂ F_к2 (4)

Подставив численные значения в соотношения 3 и 4, получим систему двух уравнений:

-345,21 q ₁+98,32 q₂= 0

0,176 q₁+0,5 q₂= 83000

Решая систему уравнений, получим:

q₁= 4,310⁴ Н/м

q₂= 15,110⁴ Н/м

Подставим значения потоков касательных напряжений q₁ и q₂ в соотношение 1 получим относительный угол закручивания:

Избыток жесткости:

Касательные напряжения по участкам:

Построим эпюру касательных напряжений (рис. 10.11).

Рисунок 10.11

Вычислим избыток прочности для наиболее напряженного участка: