6.5 Относительные перемещения сечений стержней системы

Допустим, что требуется определить перемещение точки A относительно точки B по направлению линии соединяющей эти точки (рис.7.42).

Рисунок 7.42

Обозначим через δ_A и δ_B перемещения соответственно точек A и B по линии AB, вызванные деформацией системы. Очевидно, что в тех случаях, когда эти точки смещаются в противоположные стороны, их относительное перемещение: δ_AB= δ_A + δ_B, а когда в одну сторону, то: δ_AB= δ_A - δ_B. Очевидно, что если при определении перемещений δ_A и δ_B направить единичные силы в противоположные стороны, тогда автоматически будет определяться сумма δ_A и δ_B в случае смещений точек в разные стороны и разность при перемещении точек в одну сторону. Следовательно, если прикладывать к системе одновременно две единичные силы, направленные в разные стороны по одной линии, тогда интеграл Мора будет сразу давать относительное перемещение.

Например, для плоской системы:

Пример 7.6

Определить относительное смещение δ_AB сечений A и B плоской замкнутой рамы приведенной на рисунке 7.43. Жесткость на изгиб EI_z считать заданной и постоянной на всех участках рамы.

Рисунок 7.43

Решение.

1. Определим усилия в шарнирах, для чего разрежем раму по шарнирам и добавим неизвестные усилия X₁, X₅, X₆, X₁₀ (рис. 7.44).

Рисунок 7.44

Запишем уравнения равновесия:

а) для левой части рамы (рис. 7.44а):

ΣX = -qa + X₁ + X₅ = 0

Σmom₅ = qa×a – X₁×2a = 0

а) для правой части рамы (рис. 7.44б):

ΣX = qa - X₁₀ - X₆ = 0

Σmom₁₀ = qa×a – X₆×2a = 0

Решая уравнения совместно, получим:

X₁ = X5 = X₆ = X₁₀ = qa/2

2. Строим основную эпюру изгибающих моментов от заданных нагрузок (рис.7.45)

Рисунок 7.45

3. Удалим внешнюю нагрузку, а в сечениях A и B приложим единичные усилия в противоположные направления (рис. 7.46).

Рисунок 7.46

4. Определим усилия в шарнирах, для чего разрежем раму по шарнирам и добавим неизвестные усилия X₁, X₅, X₆, X₁₀ (рис. 7.47).

Рисунок 7.47

Запишем уравнения равновесия:

а) для левой части рамы (рис. 7.47а):

ΣX = -1 + X₁ + X₅ = 0

Σmom₅ = 1×a – X₁×2a = 0

а) для правой части рамы (рис. 7.47б):

ΣX = 1 - X₁₀ - X₆ = 0

Σmom₁₀ = 1×a – X₆×2a = 0

Решая уравнения совместно, получим:

X₁ = X5 = X₆ = X₁₀ = 1/2

5. Строим эпюру изгибающих моментов от единичных усилий (рис. 7.48)

Рисунок 7.48

6. Применяя способ Верещагина, перемножаем эпюру изгибающих моментов от заданных нагрузок M на эпюру изгибающих моментов от единичных усилий M’, и в результате получим взаимное смещение сечений A и B относительно друг друга δ_AB:

δ_AB = (1/EI_z)((-1/2)qa²×2a×(-1/4)a) = qa⁴/4EI_z

Глава 8. Плоские статически неопределимые стержневые системы

Статически неопределимыми называются стержневые системы, опорные реакции и внутренние силовые факторы в которых не могут быть найдены при помощи уравнений равновесия и метода сечений. Разность между числом искомых неизвестных усилий (реакций опор и внутренних силовых факторов) и независимых уравнений равновесия определяет степень статической неопределимости системы.

Иногда говорят, что степень статической неопределимости равна числу избыточных (лишних) связей, без которых система не превращается в геометрически изменяемую (подвижную). Положение жесткого бруса на плоскости определяется тремя независимыми координатами (перемещениями в дух направлениях и углом поворота), иначе говоря, брус на плоскости обладает тремя степенями свободы. На брус могут быть наложены связи, т.е. ограничения, обуславливающие его положение на плоскости. Наиболее простыми связями являются такие связи, при которых полностью исключается то или иное обобщенное перемещение для некоторых сечений бруса. То минимальное число связей, при котором достигается кинематическая неизменяемость, является необходимым числом связей. Всякую связь, наложенную сверх необходимых, называют избыточной. Связи в стержневых системах обычно делят на связи внешние и связи внутренние, или взаимные. Под внешними связями понимают условия, накладываемые на абсолютные перемещения некоторых точек системы. Например, на рисунке 8.1а показана плоская рама, имеющая три внешние связи, а на рисунке 8.1б‑пять внешних связей.

Рисунок 8.1

Следовательно, в первом случае рама имеет необходимые внешние связи, а во-втором две избыточные внешние связи, т.е. она дважды внешне статически неопределима.

Под внутренними, или взаимными, связями понимаются ограничения, накладываемые на взаимные смещения сечений рамы. Замкнутый плоский контур имеет три избыточные связи, т.е. ограничен взаимный поворот смежных сечений, и взаимное смещение смежных сечений в двух направлениях. Следовательно, плоская рама в виде замкнутого контура трижды статически неопределима. Таким образом, рама, приведенная на рисунке 8.1а, трижды статически неопределима внутренним образом. Рама, приведенная на рисунке 8.1б, пять раз статически неопределима (три раза внутренним образом и два раза‑внешним).