1.1 Внецентренное сжатие силой, приложенной на одной из главных осей инерции сечения стержня

Рассмотрим случай сжатия продольной силой Р, приложенной с эксцетриситетом e на одной из главных осей инерции сечения (рис. 6.1).

Рисунок 6.1

Если мы приложим две равные по величине противоположные по направлению осевые силы Р в центре тяжести O поперечного сечения, то от этого нагруженность стержня не изменится. При этом мы получим сжатие осевой силой Р, вызывающей сжимающие напряжение, как показано на рисунке 6.1а:

_сж= , где

F-площадь поперечного сечения,

а также изгиб моментом M_z= P e, вызывающим нормальные напряжения _M как показано на рисунке 6.1б:

_M = , где

M_z – изгибающий момент относительно оси z;

I_z – момент инерции сечения относительно оси z.

Следовательно, полное напряжение будет равно:

(1)

Эпюра распределения полного напряжения показана на рисунке 6.1с. На рисунке 6.1с предполагается, что наибольшее напряжение от изгиба меньше осевого сжимающего напряжения, так что по всему поперечному сечению стержня будут лишь одни сжимающие напряжения. Если наибольшее напряжение от изгиба будет больше сжимающего напряжения, то нулевая линия напряжений будет параллельна оси z и делит поперечное сечение на две зоны, одна из которых с сжимающими напряжениями, а другая с растягивающими напряжениями.

Для прямоугольного поперечного сечения со сторонами b и h:

F=b h, I_z= .

Подставим эти выражения в (1), получим:

.

Максимальное напряжение получим при y = - :

Минимальное напряжение получим при y = :

Уравнение нейтральной линии получим при _x = 0, или:

, откуда:

y= -

Видно, что расстояние нулевой линии от центра тяжести O уменьшается с увеличением эксцентриситета e. То же рассуждение можно применить и в случае внецентренной растягивающей нагрузки.

Пример 6.1

Стержень таврового сечения нагружен силами Р, которые приложены со смещением (эксцентриситетом) относительно центра тяжести сечения (рис. 6.2). Определить наибольшие растягивающее и сжимающее напряжения в этом стержне, если d=l см, h=9 см, ширина полки b=9 см, Р=1000 кг.

Рисунок 6.2

Решение.

1. Расстояние до центра тяжести таврового сечения до оси, проходящей через середину горизонтальной полки:

2. Расстояния от центра тяжести таврового сечения до нижней точки сечения h₁ и до верхней h₂ соответственно равны h₁=2,62 см и h₂=6,38 см. Эксцентриситет e силы Р равняется:

e=1+2,12=3,12 см

3. Главный центральный момент инерции таврового сечения I_zc:

4. Напряжения от изгиба:

,

.

4. Напряжения от осевого растяжения:

5. Складывая напряжения от изгиба и от осевого усилия, получим:

- наибольшее растягивающее напряжение 63,7+58,8 = 122,5 кг/см²;

- наибольшее сжимающее напряжение 58,8-155= 96,2 кг/см²

1.2 Внецентренное сжатие силой, которая не находится ни на одной из главных осей инерции сечения стержня

Рассмотрим теперь случай, когда точка B приложения внецентренно сжимающей силы Р не находится ни на одной из двух главных осей инерции поперечного сечения, принятых на рисунке. 6.3 за оси z_c и у_c. Если взять m и n за координаты этой точки, то моменты силы Р относительно осей z_c и у_c будут соответственно равны Р×n и Р×m.

Рисунок 6.3

Используя принцип сложения действия сил, получим напряжение в точке A поперечного сечения:

(1)

Первый член правой части представляет сжимающее напряжение от осевого сжатия, а два другие - напряжения от изгиба, вызываемые соответственно моментами Р×n и Р×m. Можно видеть, что распределение напряжений следует линейному закону. Уравнение нулевой линии напряжений получится приравниванием правой части соотношения (1) нулю.

Введем обозначения:

I_z/F=i_z и I_y/F=i_y - соответствующие радиусы инерции относительно осей z_c и y_с.

Уравнение линии нулевых напряжений:

Подставляя в это уравнение сначала z=0, а затем y=0, мы получаем точки М и N пересечения линии нулевых напряжений с осями координат z_c и y_с. Координаты этих точек r и s будут:

, (2)

Из соотношений (2) находим:

,

Эти соотношения имеют такую же форму, как и соотношения (2), поэтому можно заключить, что когда нагрузка приложена в точке В' с координатами s и r, соответствующей нулевой линией будет линия M'N', показанная на рисунке пунктиром и отсекающая на осях z_c и у_c отрезки m и n.