Глава 5. Геометрические характеристики плоских сечений

Сопротивляемость деформированию элемента конструкции характеризуется геометрическими характеристиками поперечных сечений. Так, например, при растяжении или сжатии бруса такой характеристикой является площадь поперечного сечения, при кручении бруса круглого сечения более сложные геометрические характеристики - полярный момент инерции и момент сопротивления кручению. Для решения задач в курсе сопротивления материалов плоское поперечное сечение характеризуются площадью, статическими моментами и моментами инерции.

1. Статические моменты плоских сечений

Статическим моментом поперечного сечения бруса относительно координатной оси называют произведение площади сечения F на расстояние от его центра до рассматриваемой оси z_c или у_c :

S_z = F  y_c , S_y = F  z_c (1)

В случае, когда координаты центра тяжести и площадь сечения неизвестны, статические моменты определяют интегральными отношениями. Рассмотрим поперечное сечение произвольной формы в прямоугольной системе координат «z-у» (рис. 5.1).

В окрестности точки A с координатами z и у на поперечном сечении выделим элементарный участок dF и рассмотрим два следующих интеграла:

, (2)

Рисунок. 5.1

Первый интеграл называется статическим моментом сечения относительно оси z, а второй - статическим моментом сечения относительно оси y. Приравняв правые части соотношений (1) и (2), получим формулы для определения координат центра тяжести сечения:

, .

Если провести центральную ось, т.е. ось проходящую через центр тяжести сечения, то статический момент сечения, относительно такой оси, равен нулю в силу того, что в этом случае расстояние от центра тяжести до оси равно нулю.

Рассмотрим составное сечение площадью F, которое состоит из n частей, площадью F₁, F₂,....F_n.

Статический момент, например, относительно оси z  можно записать в виде:

Если, предположить, что составное сечение разбито на простейшие фигуры с известными координатами центра тяжести y_c1, y_c2, ...y_cn и площадями F₁, F₂ ...F_n, тогда:

S_z = S_z1 + S_z2 +...+S_zn = y_c1  F₁ + y_c2  F₂ +...y_cn  F_n.

Учитывая, что S_z = y  F тогда координата центра тяжести составного сечения определяется соотношением:

,

Пример. 5.1

Определить центр тяжести самолета приведенного на рисунке 5.2.

Рисунок 5.2

Распределение весов отдельных его частей и их координаты приведены в таблице 5.1.

Таблица 5.1

Агрегат		Вес, G, кГ	Горизонталь		Вертикаль
№	Наименование		xc, мм	G×xc кГмм		yc, мм	G×yc кГмм
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	Винт Двигатель Фюзеляж Крыло Горизонтальное оперение Вертикальное оперение Хвостовое колесо Основное шасси Пилот Радиостанция	-90 -410 -400 -300 -30 -20 -25 -150 -100 -50	0 -1150 -4550 -3950 -7400 -8375 -8200 -2875 -4125 -6000	0 471500 2291500 1185000 222000 167500 205000 431250 412500 300000		0 0 -100 450 -200 -650 500 750 -250 -125	0 0 40000 -13500 -6000 13500 -12500 -112500 25000 6250
Сумма		-1575		5686250			-59750

Решение.

Предположим, что вес агрегата создается объемом из плоской фигуры площадью F единичной толщины и удельным весом γ:

G = F 1 γ, откуда

F = G / γ

Тогда самолет можно представить как набор плоских фигур площадью F_i и координатами центров тяжести x_ci и y_ci, которые совпадают с координатами центров тяжести агрегатов.

В этом случае, для определения координат центра тяжести можно воспользоваться формулами для определения координат центра тяжести составной фигуры, которые приобретают вид:

, .

Вычисления приведены в таблице 5.1.

Координаты центра тяжести самолета равны:

, .