1.7. Потенциальная энергия деформации

Рассмотрим элементарный объем dx, dy, dz, по граням которого действуют все компоненты напряжений σ_x, σ_y, σ_z, τ_xy, τ_xz, τ_yz (рис. 3.16).

Потенциальная энергия dU, накопленная в элементарном объеме, в соответсвии с приципом независимости действия сил, определяется суммой работ dA_i сил, распределенных по поверхности этого объема:

dU =

Рисунок 3.16

Нормальная сила σ_x dy dz совершает работу на перемещении ε_x dx. Так как перемещение линейно зависит от величины силы (рис. 3.17), то ее работу можно вычислить как площадь заштрихованного треугольника:

Рисунок 3.17

Аналогичные выражения можно получить и для остальных нормальных сил.

Для определения работы, выполняемой касательными силами, рассмотрим деформирование элементарного параллелепипеда в условиях чистого сдвига (рис. 3.18).

Рисунок 3.18

Примем нижнюю грань элемента условно за неподвижную. Тогда при смещении верхней грани сила τ_yz dx dz совершает работу на перемещении γ_yz dy. Так как перемещение линейно зависит от величины силы, то ее работу можно вычислить:

Аналогичные выражения можно получить и для остальных касательных сил.

Просуммировав работы всех компонент напряжений, получим потенциальную энергию, накопленную в элементарном объеме:

dU = ½ dx dy dz (σ_x ε_x + σ_y ε_y + σ_z ε_z + τ_yz γ_yz+ τ_yx γ_yx + τ_zx γ_zx)

Часто энергию относят к единичному объему, т.е. рассматривают куб единичных размеров. В этом случае потенциальная энергия U₀:

U₀ = ½(σ_x ε_x + σ_y ε_y + σ_z ε_z + τ_yz γ_yz+ τ_yx γ_yx + τ_zx γ_zx)

Воспользуемся обобщенным законом Гука и подставим деформации, выраженные через напряжения, получим окончательно:

U₀ = (1/(2E)) [σ_x²+σ_y²+σ_z²-2μ (σ_xσ_y+σ_xσ_z+σ_yσ_z )]+(1/(2G)) (τ_yz²+τ_yx²+τ_zx²), (1)

или в главных напряжениях:

U₀ = (1/(2E)) [(σ₁² + σ₂²+ σ₃²) - 2μ (σ₁ σ₂ + σ₁ σ₃ + σ₂ σ₃ )] (2)

Для того чтобы получить потенциальную энергию во всем объеме деформированного тела, выражение U₀ следует умножить на элементарный объем и проинтегрировать по объему тела:

Раздел 2. Центральное растяжение и сжатие

Рассмотрим простейший случай растянутого или сжатого бруса, когда усилия приложены вдоль продольной оси. При постановке задачи растяжения стержня обычно формулируется принцип Б.Сен-Венана. Согласно этому принципу применительно к стержням особенности приложения внешних сил к растянутому или сжатому стержню проявляются, как правило, на расстояниях, не превышающих характерных размеров поперечного сечения стержня. Это означает, что всегда возможно с достаточной степенью приближения заменить приложенные распределенные усилия статически эквивалентной продольной силой. Будем рассматривать случай, когда точка приложения равнодействующей совпадает с центром тяжести сечения. Следует также отметить, что на удалении от места резкого изменения формы либо размеров сечения распределение напряжений по поперечному сечению также остается неизменным.

Историческая справка

При определении удлинения растянутого стержня используется закон, открытый Р.Гуком, устанавливающий пропорциональность напряжения деформации. Работая над созданием конструкции регулятора точного хода часов, Гук производил испытания плоских спиральных пружин и установил, что угол закручивания пружины пропорционален приложенному моменту. Затем он повторил опыты на растянутой витой пружине, растянутой стальной проволоке, консольной деревянной балке, изогнутой силой, приложенной на свободном конце.

Рисунок 3.19

На рисунке 3.19 приведены, взятые из работы Р.Гука иллюстрации испытаний пружин и стальной проволоки. В ходе этих исследований он установил, что во всех случаях перемещения прямо пропорциональны приложенным силам. Таким образом, закон Гука был получен экспериментально для следующих типов нагружения: растяжение (стальная проволока), кручение (витая пружина), изгиб (спиральная пружина и деревянная балка). Гук производил испытания при не очень больших нагрузках, предполагая, по-видимому, что его закон справедлив всегда. Этот закон был открыт в 1660г., однако Р.Гук опубликовал его только в 1676г. в виде анаграммы «ceiiinosssttu», которая представляет собранные в алфавитном порядке буквы латинской фразы: «ut tensio sic vis», что в переводе означает: «какова сила, таково и действие». Указанная анаграмма была раскрыта Р.Гуком в 1678г.

Независимо от Р.Гука закон прямой пропорциональности перемещений приложенным силам был установлен Э.Мариоттом в результате испытаний деревянных и стеклянных стержней на растяжение и изгиб (консольный стержень, нагруженный силой на конце). Эти опыты описаны в его книге, вышедшей в свет в 1686г. и посвященной в основном движению жидкостей.

Ограниченность закона Гука, т.е. справедливость его только в начальной стадии нагружения, установил Т.Юнг, который также определил понятие модуля упругости E. Определение модуля упругости дано Юнгом в такой весьма туманной форме: «Модуль упругости какого-либо вещества представляет собой столбик этого вещества, способный произвести давление на свое основание, которое так же относится к весу, создающему некоторую степень сжатия, как длина столбика к уменьшению его длины». Т.Юнг обратил также внимание на то, что при растяжении‑сжатии поперечные размеры стержня изменяются. Эти положения сформулированы им в 1807г.

Абсолютная величина отношения поперечной деформации к продольной, постоянная в пределах справедливости закона Гука, связана с именем С.Пуассона, который ввел ее в 1829г. и на основе молекулярной теории установил, что она равна 1/4.