2.2. Центральное растяжение и сжатие ступенчатого бруса

Центральное или осевое растяжение и сжатие ступенчатого бруса вызывается поверхностными и объемными нагрузками, равнодействующие которых совпадают с осью бруса, которая является геометрическим местом точек, совпадающих с центрами тяжести сечений.

2.2.1. Нормальные усилия возникающие при растяжении и сжатии статически определимого ступенчатого бруса

Рассмотрим ступенчатый брус, подверженный действию распределенных и сосредоточенных нагрузок (рис. 2.30а). Брус состоит из трех участков длиной a. Площади поперечных сечений равны 2F, 3F и F соответственно. На брус действуют распределенная нагрузка q(x) и сосредоточенные усилия P₁, P₂ и P₃.

Рисунок 2.30

Для определения внутренних усилий воспользуемся методом сечений. На рассматриваемом брусе отметим сечения, которые характерны либо ступенчатым изменением площади сечения, либо изменением нагрузки.

Примем правило знаков: продольную силу, направленную от сечения, т.е. соответствующую растяжению будем считать положительной; продольную силу, направленную к сечению (сжимающую силу)- отрицательной.

A

B

B

C

C

A

На произвольном расстоянии x от свободного правого торца проведем сечение и часть бруса, лежащую левее от сечения, отбросим, приложив вместо нее к правой части неизвестную силу N_1-2(х) (рис 2.30б). Запишем уравнение равновесия:

-N_1-2(х)–P₁=0, откуда

N_1-2(x)=-P₁

Знак минус показывает, что направление нормального усилия необходимо изменить на противоположное.

Проведем сечение на участке «2-3», на произвольном расстоянии x от начала участка. Отбросим левую часть, заменим ее действие неизвестным усилием N_2-3(х) (рис 2.30в) и запишем уравнение равновесия:

-N_2-3(x)+P₂–P₁=0, откуда

N_1-2(x)=P₂–P₁

Н

N_3-4(x)

а последнем участке «3-4» проведем сечение, отбросим левую часть (рис 2.28г) и запишем уравнение равновесия:

-N_3-4(x)+ +P₃+P₂–P₁=0, откуда

N_3-4(x)=P₃+P₂–P₁+ .

Выражение нормальной силы для третьего участка можно обобщить на случай действия на отсеченную часть m сосредоточенных и k распределенных нагрузок.

N(x)= +

Выражение можно сформулировать в виде удобного для практических целей правила.

Нормальная сила в поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме всех продольных внешних (активных и реактивных) сил, расположенных по одну (любую) сторону от сечения.

2.2.2. Нормальные усилия, возникающие при растяжении и сжатии статически неопределимого ступенчатого бруса

Рассмотрим ступенчатый брус, у которого оба торца жестко закреплены (рис. 2.31а). Брус состоит из двух участков длиной a. Площади поперечных сечений равны 2F, и F соответственно. На брус действует сосредоточенное усилие P. Для определения внутренних усилий воспользуемся методом сечений. На рассматриваемом брусе отметим сечения, которые характерны либо ступенчатым изменением площади сечения, либо изменением нагрузки. Для определения внутренних усилий в произвольном сечении бруса одних уравнений равновесия не достаточно, так как неизвестны усилия, возникающие в заделках. Это означает, что задача статически неопределима.

Рисунок 2.31

Общий метод решения статически неопределимых задач складывается в последовательном проведении двух процедур.

1. Брус освобождается от лишних связей, взамен которых прикладывают неизвестные усилия, т.е. брус превращается в статически определимый.

2. Составляют уравнение равновесия и дополнительно к ним уравнения совместимости деформаций, учитывающие деформированное состояние стержня.

В приведенной задаче отсекаем заделки и прикладываем неизвестные реакции заделок R₁ и R₃ (рис. 2.31б). Записываем уравнение равновесия:

R₃–R₁–P=0 (1)

Так как одного уравнения равновесия недостаточно для определения реакций в заделках, то составляем уравнение совместимости деформаций, которое выражает невозможность относительного смещения жестко заделанных сечений 1 и 3:

l_1-3=0

Учитывая, что смещение сечения 1 относительно 3 складывается из смещений сечения 1 относительно сечения 2 и сечения 2 относительно сечения 3, то уравнение совместимости принимает вид:

l_1-3=l_1-2+l_2-3=0 (2)

На основании закона Гука для стержня:

l_1-2=N_1-2 a/E 2F

l_2-3=N_2-3 a/E F

Неизвестные внутренние усилия определим по правилу для статически определимого стержня:

N_1-2(x)=R₁

N_2-3(x)=R₁+P

Подставим полученные выражения в уравнение (2), получим следующее уравнение совместимости деформаций:

R₁ a/E 2F+(R₁+P) a/E F=0, или

3R₁+2P=0 (3)

Решая уравнения (1) и (3) совместно, получим реакции в заделках:

R₁=-2/3P

R₃=1/3P

Подставив значение R₁ в выражения N, получим внутренние усилия:

N_1-2(x)=-2/3 P

N_2-3(x)=1/3 P