1.3. Проценты за дробное число лет

Часто срок для начисления процентов не является целым числом. То есть , где а – целое число лет, а b – дробная часть года. В этом случае применяются два метода:

а) общий метод – начисление процентов производится по формуле сложных процентов

;

б) смешанный метод – начисление процентов за целое число лет производится по формуле сложных процентов, а за дробное число лет – по формуле простых процентов

. (3)

Как мы уже видели, если , то , то есть смешанный метод дает большую наращенную сумму.

№ 20. Кредит в размере 3 млн. руб. выдан на 3 года и 6 месяцев под 16% годовых (сложных). Найти сумму долга на конец срока.

Решение. По общему методу

5 млн. 43тыс. 409,29 руб.;

По смешанному методу

5 млн. 57 тыс. 303,04 руб.

Действительно, второй метод дает больший результат.

4. Номинальная и эффективная ставка процентов. Наращение процентов m раз в год

В современных условиях проценты капитализируются обычно не один, а несколько раз в год – по полугодиям, кварталам и так далее. Некоторые зарубежные банки практикуют даже ежедневное начисление процентов. В подобных случаях можно воспользоваться формулой (1), однако параметр n будет означать число периодов начисления, а i – ставка за соответствующий период. Так, если кредит выдан на три года с по-квартальным начислением i = 10%, то множитель наращения будет равен .

На практике, как правило, в контрактах фиксируется не ставка за период (например за квартал и т.д.), а фиксируется годовая ставка и одновременно указывается период начисления процентов, например, "20% годовых с поквартальным начислением процентов", то есть за квартал начисляется 5%.

Пусть годовая ставка равна j%, а число периодов начисления в году равно m. Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке %. Формулу наращения теперь можно записать в виде:

, (4)

где j - номинальная годовая ставка; m - число периодов начисления процентов в году; N - число периодов начисления процентов за весь срок контракта; , n - где число лет.

№ 21. Пусть в условиях №17 проценты начисляются: а) по полугодиям; б) ежеквартально. Найти наращенную за пять лет сумму.

Решение:

а) 81 тыс. 444,73 руб.;

б) 81 тыс.930,72 руб.

Нетрудно догадаться, что чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.

Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, то наращенная сумма может вычисляться или по общей формуле вида (4) или смешанным образом:

(5)

где - число полных периодов начислений, b - дробная часть одного периода начисления процентов.

№ 22. Найти наращенную сумму долга через 25 месяцев, если его первоначальная величина равна 500 тыс. руб., проценты сложные – 20% годовых, начисление – поквартальное.

Решение. По условиям задачи число периодов начисления равно . Следовательно, по общему методу получаем:

750 тыс.840,02 руб.,

а по смешанному методу:

751 тыс.39,85 руб.

Введем теперь новое понятие – действительная или эффективная ставка процента. Эта ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год от начисления процентов. Иначе говоря, эффективная ставка отвечает на вопрос: какую годовую ставку сложных процентов необходимо установить, чтобы получить тот же финансовый результат, как и при m–разовом начислении процентов в году по ставке %.

Обозначим эффективную ставку сложных процентов за Тогда из условия равенства множителей наращения

,

получим

(6)

то есть эффективная ставка больше номинальной ставки.

Из (6) следует, что

.

№ 23. Определить эффективную ставку сложных процентов при ежемесячном начислении, если номинальная ставка равна 25%.

Решение:

.

Для сторон, участвующих в финансовой сделке, совершенно безразлично: применять ставку 25% при помесячном начислении процентов, или годовую ставку 28,0732%. Обе эти ставки эквивалентны в финансовом отношении.