§ 4. Эквивалентность процентных ставок

Распространим понятие эквивалентности, рассмотренное выше применительно к платежам, и на процентные ставки. Определим те их значения, которые в конкретных условиях приводят к одинаковым финансовым результатам. Другими словами, эквивалентными называются ставки, обеспечивающие равноценность финансовых последствий.

Формулы эквивалентности процентных ставок получим исходя из равенства соответствующих множителей наращения или дисконтных множителей.

1. Эквивалентность простых процентных ставок

Учитывая, что

получаем

(11)

где - срок ссуды в годах, - простая процентная ставка, - простая учетная ставка. Если же срок ссуды меньше одного года, то , где - число дней, 360 или 365(366) дней.

№ 43. Вексель учтен за год до даты его погашения по учетной ставке 20%. Какова доходность учетной операции в виде процентной ставки.

Решение:

или 25%.

Иначе говоря, операция учета по учетной ставке 20% за год дает тот же доход, что и наращение по простой процентной ставке 25%.

Из приведенных формул и примера видно, что для одинаковых условий финансовой операции справедливо неравенство

2. Эквивалентность простых и сложных ставок

Приравняв соответствующие множители наращения

получим:

(12)

где - ставка сложных процентов.

№ 44. Ссуда выдана на два года под 20% годовых (простые проценты). Определить эквивалентную ей ставку сложных процентов.

Решение:

или 18,32%.

Проверка:

Если сложные проценты начисляются раз в год по процентов, то

(13)

А эквивалентность простой учетной ставки и ставки сложных процентов следует из равенства:

или

(14)

и

№ 45. Банк при выдаче ссуды на 1 год и 3 месяца использовал сложную процентную ставку 20% годовых при поквартальном начислении процентов. Определить величину простой учетной ставки, которая обеспечивала бы банку получение такой же наращенной суммы.

Решение:

или 17,32%.

3. Эквивалентность сложных ставок

Эквивалентность номинальной ставки (при начислении процентов m раз в год) и эффективной ставки рассматривалась ранее:

Сравнивая множители наращения по сложной процентной и учетной ставкам

получим

(15)

А эквивалентность сложной учетной ставки и номинальной сложной процентной ставки имеет вид:

(16)

№ 46. При разработке условий контракта стороны договорились о том, что доходность кредита должна составить 24% годовых. Каков должен быть размер номинальной ставки при начислении процентов: а) еже-месячно; б) поквартально.

Решение:

а) , или 21,705%;

б) или 22,1%.

4. Эквивалентность непрерывных и дискретных ставок

Приведем некоторые соотношения эквивалентности, которые представляют наибольший интерес.

Из равенства:

следует:

. (17)

Из равенства:

следует:

(18)

Из равенства:

следует:

(19)

№ 47. Какая непрерывная ставка заменит поквартальное начисление процентов по номинальной ставке в 20%?

Решение:

или 19,516%