2.2. Определение срока консолидированного платежа

Если при объединении платежей задана величина консолиди-рованного платежа S₀ , то возникает проблема определения срока его платежа n₀ . В этом случае уравнение эквивалентности удобно представить в виде равенства современных стоимостей соответствующих платежей.

При применении простой ставки это равенство имеет вид:

(6)

отсюда

(7)

Здесь – современная величина консолидированных платежей.

№ 37. Суммы в размере 10, 20 и 15 тыс. руб. должны быть выплачены через 50, 80 и 150 дней соответственно. Стороны договорились заменить их одним платежом в сумме 50 тыс. руб. Определить срок этого платежа при условии начисления 10% годовых.

Решение. Найдем современную стоимость заменяемых платежей:

руб.

Тогда года, или дней.

При применении простых учетных ставок расчет n₀ производится по формуле

(8)

где - современная стоимость консолидированных платежей.

№ 38. Суммы в размере 1,2, 1,5 и 2,3 млн. руб. должны быть выплачены через 35, 55 и 75 дней соответственно. Достигнуто соглашение об объединении всех платежей в один, равный 5,5 млн. руб., с исполь-зованием для этого простой учетной ставки в 7%. Определить срок уплаты консолидированного платежа.

Решение. Найдем современную стоимость консолидированного платежа:

млн. руб.

Тогда

года, или 1 год 165 дней.

Таким образом, срок платежа переносится на 1 год и 165 дней с момента получения кредита.

При использовании сложных процентных ставок срок уплаты консолидированного платежа определяется по формуле:

(9)

где .

№ 39. Два платежа по 1,4 и 1,9 млн. руб. со сроками погашения через 2 и 3 года соответственно, объединяются в один платеж, равный 4 млн. руб., с использованием сложной процентной ставки в 6%. Определить срок консолидированного платежа.

Решение. Найдем современную стоимость платежей:

млн. руб.

Тогда года.

§ 3. Общий случай изменения условий коммерческих сделок

Обсудим теперь более общие случаи изменения условий выплат, предусматриваемых в контрактах, для которых решение не всегда можно получить простым суммированием платежей, приведенных на некоторую дату. Разумеется, что и в таких случаях решение основывается на принципе эквивалентности платежей до и после изменения условий контракта. И решение заключается в разработке уже упоминавшегося выше уравнения эквивалентности.

Если приведение платежей осуществляется на некоторую начальную дату, то уравнение эквивалентности в общем виде имеет вид:

а) при использовании простых процентов:

; (10)

б) при использовании сложных процентов:

. (10)

Здесь и параметры заменяемых платежей, а и параметры заменяющих платежей.

Конкретный же вид уравнений эквивалентности зависит от условий контракта, поэтому методику составления таких уравнений удобнее рассмотреть на примерах.

№ 40. Две суммы – 100 и 50 тыс. руб. - должны быть выплачены 1 ноября и 1 января (следующего года). Стороны согласились пересмотреть порядок выплат: должник должен выплатить 1 декабря 60 тыс. руб., а остаток долга гасит 1 марта. Найти эту сумму при условии, что пересчет осуществляется по ставке простых процентов, равной 20%.

Решение. Возьмем за базовую дату, например, 1 января следующего года. Тогда, учитывая, что

01.11 – 305-ый день,

01.12 – 335-ый день,

01.03 – 60-ый день,

можно составить уравнение эквивалентности

или

то есть, руб.

Следует отметить, что при применении простых процентных ставок изменение базовых дат приводит к некоторым, впрочем незначительным изменениям результатов. Например, если привести платежи к 1 марта, то получим уравнение эквивалентности:

откуда следует, что

руб.

Отмеченная зависимость результатов от выбора базовой даты объясняется тем, что если , то

№ 41. Пусть в условиях № 40 по новому обязательству выплаты необходимо произвести равными суммами 1 декабря и 1 марта. Найти эту сумму.

Решение. Примем в качестве базовой даты 1 января. Тогда

или

То есть

= 77.224,55 руб.

Теперь перейдем к примеру со сложной процентной ставкой.

№ 42. Строительная фирма получила в банке долгосрочный кредит в размере 10 млн. руб. под 10% годовых сроком на 5 лет. Впоследствии стороны пересмотрели условия займа и выработали новые: через 3 года выплачивается 4 млн. руб., а остальная сумма выплачивается через 4 года после первой выплаты. Определить сумму окончательного платежа.

Решение. Составим уравнение эквивалентности, приняв за базовую дату момент получения кредита:

или

То есть,

руб.

Отметим, что изменение базовой даты при применении сложных процентов не влияет на результаты расчетов по замене платежей, так как, если , то