§ 1. Вычисление наращенных сумм на основе сложной процентной ставки

1.1. Сущность вычисления платежей по сложной процентной ставке

В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, то для наращения, как правило, применяются сложные проценты. Основное отличие сложных процентов от простых заключается в том, что база для начисления процентов меняется от одного расчетного периода к другому. Сумма начисленных в каждом периоде процентов добавляется к капиталу предыдущего периода, и начисление процентов в последующем периоде производится уже на сумму, наращенную в предыдущем периоде. Процесс наращения капитала в этом случае происходит с ускорением и описывается геометрической прогрессией.

Способ вычисления процентных платежей по сложным процентам называют иногда и вычислением процента на процент.

Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления (сложные проценты), называют капитализацией процентов.

Различают годовую, полугодовую, поквартальную, помесячную и ежедневную капитализацию процентов.

Рассмотрим декурсивный (последующий) метод начисления процентов, когда начисление процентов производится в конце каждого периода начисления.

1.2. Проценты за целое число лет

Пусть P – первоначальный размер капитала (долга, ссуды и т.д.) – текущая стоимость капитала. S – наращенная сумма, n – срок, число лет наращения, i – годовая процентная ставка.

Тогда в конце первого года наращенная сумма будет равна

.

В конце второго года (периода) проценты начисляются уже на наращенную сумму:

и так далее, то есть в конце n –го года наращенная сумма будет равна:

. (1)

Следовательно, наращенная сумма за n лет представляет собой n–ый член геометрической прогрессии, первый член которой равен P, а зна-менатель равен .

Величину называют также сложным декурсивным коэффициентом, а величину – множителем наращения по сложным процентам (Приложение 2).

№ 17. Вкладчик внес в банк 50000 руб. под 10% годовых (сложные проценты) сроком на 5 лет. Определить наращенную сумму.

Решение:

80525 руб. 50 коп.

Убедимся, что сумма, наращенная по сложным процентам, выше, чем по простым процентам. Действительно,

= 75000 руб.

Ставки сложных процентов могут изменяться во времени, что может быть связано например с нестабильностью экономической ситуации. Они: 1) могут быть либо зафиксированы для каждого периода, тогда

, (2)

где – последовательные ставки сложных процентов соответственно в периодах начисления ; 2) могут быть “плавающими”, то есть привязанными к темпам инфляции или к какому-либо другому показателю, например, к ставкам рефинансирования ЦБ.

№ 18. Строительная фирма получила в банке кредит на сумму 20 млн. руб. сроком на 5 лет. Процентная ставка по кредиту определена в 12% для первого года; для второго года маржа в 3%; для третьего года еще – 2%; для остальных лет – еще 1%. Определить сумму долга, подлежащего погашению.

Решение:

41,9658228 млн. руб.

Для того, чтобы сопоставить результаты наращения по простым и сложным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения: и , где – простая процентная ставка, – сложная процентная ставка. Тогда при: а) , то есть рост по простым процентам при сроке кредита меньше одного года больше, чем по сложным процентам; б) , то есть для срока, равного одному году, множители наращения по простым и сложным процентам равны; в) , то есть для срока, больше одного года, сложные проценты больше простых.

Это можно проиллюстрировать графически:

S

P

0 1 n

или продемонстрировать, например, при :

Множители наращения	30 дней	180 дней	1 год	5 лет	100 лет
	1,01644	1,05918	1,12	1,6	13
	1,00936	1,05748	1,12	1,76234	83522,3

Отсюда видно, что очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке. Например Остров Манхэттен был куплен у индейцев за 24 доллара. Стоимость острова через 350 лет оценивалась примерно в 40 млрд. долларов, то есть коэффициент наращения составил . Однако такой результат достигается всего лишь при годовой процентной ставке .

Различия в последствиях применения простых и сложных процентов наиболее наглядно проявляются при определении времени, необходимого для увеличения первоначальной суммы в N раз.

Чтобы первоначальная сумма P увеличилась в N раз, необходимо, чтобы коэффициенты наращения были равны величине N, то есть:

а) для простых процентов

,

откуда ;

б) для сложных процентов

,

откуда .

Hаиболее часто решается задача по определению времени, необходимого для удвоения первоначального капитала, то есть :

а) для простых процентов ;

б) для сложных процентов

или приближенно

№ 19. Определить число лет, необходимое для увеличения первоначального капитала: а) в два раза; б) в пять раз, используя сложные и простые проценты по ставке 20%.

Решение. Увеличение в два раза:

а) по простым процентам лет;

б) по сложным процентам года.

Увеличение в пять раз:

а) по простым процентам лет;

б) по сложным процентам года.