§ 3. Переменные непрерывные потоки платежей

4.1. Наращенная сумма и современная стоимость

В предыдущей главе (§ 6) мы рассмотрели постоянную непрерывную ренту, в которой предполагалось, что годовая сумма распределена непрерывно и равномерно в течение года. На практике же этот поток платежей может изменяться во времени. Так, он может быть непрерывной функцией времени (функция потока)

В этом случае общая сумма платежей, которая в дискретном случае равна , может быть вычислена как предел интегральной суммы:

где – длины элементарных отрезков,

Другими словами,

(12)

А наращенная сумма непрерывной переменной ренты при непрерывном начислении процентов по ставке годовых также вычисляется как предел соответствующей интегральной суммы:

или как определенный интеграл:

(13)

Современную же стоимость ренты вычисляем по формуле , или

(14)

Рассмотрим некоторые конкретные формулы расчета и при одном конкретном виде функции

4.2. Линейно изменяющийся поток платежей

Пусть функция потока имеет вид:

(15)

где - начальный размер платежа, - величина линейного прироста за единицу времени. Тогда современная стоимость равна:

Или

(16)

где

–

коэффициент приведения непрерывной ренты (см. гл.5, (41)).

А наращенную сумму можно найти по формуле

№ 89. Намечается в течение четырех лет увеличивать ежегодно выпуск продукции на 200 млн. руб. Определить суммарный стоимостный объем выпуска продукции при начислении процентов по ставке , если базовый (начальный) уровень выпуска равен 3 млрд. руб.

Решение. Так как млрд. руб., млрд. руб., то

Тогда

млрд. руб.

Следовательно, наращенная сумма будет равна:

млрд. руб.

Если требуется определить процентную ставку (эффективность финансовой операции), то необходимо решить уравнение вида (см. (16)):

относительно неизвестной каким-либо численным методом.

З А Д А Ч И Д Л Я С А М О С Т О Я Т Е Л Ь Н О Й

Р А Б О Т Ы

Простые проценты

1. Вкладчик положил в банк, выплачивающий 7% простых в год, вклад в 3 тыс. руб. Какая сумма будет на счету у вкладчика: а) через 3 месяца; б) через 1 год; в) через 3 года 5 месяцев?

2. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий 4% простых в год, чтобы получить 50 тыс. руб.: а) через 4 месяца; б) через 1 год; в) через 2 года 9 месяцев?

3. В банк было положено 100 тыс. руб. Через: а) 2 года 6 месяцев; б) 90 дней; в) 8 месяцев на счету стало 120 тыс. руб. Сколько годовых процентов выплачивает банк?

4. В банк, выплачивающий 6% простых годовых , положили 60 тыс. руб. Через какое время на счету будет: а) 65400 руб.; б) 64000 руб.; в) 70000 руб.?

5. Банк выдал клиенту ссуду в размере 90 тыс. руб.: а) на 2 года по простой учетной ставке 12% годовых; б) на 3 года - по 10%; в) на 1,5 года - по 8%. Какая сумма будет выдана клиенту на руки?

6. Какую сумму должен будет банку клиент из № 5, если он получит ссуду под простые годовые проценты? Что выгоднее банку, клиенту?

7. Клиент обратился в банк 16 марта для получения ломбардного кредита и предоставил в залог 150 акций. Величина займа рассчитывается исходя из 80% их курсовой стоимости. Процентная ставка составляет 9% годовых, затраты банка по обслуживанию долга – 1% от номинальной стоимости кредита. На какой кредит может рассчитывать клиент банка, если курс его акций составляет 3000 руб. за акцию.

8. Клиент банка (№7) перечислил 16 июня 160000 руб. и продлил погашение кредита еще на три месяца. Распределить эту сумму на выплату основного долга и проценты за новый кредит. Определить, сколько заплатит должник кредитору 16 сентября, если процент за пользование кредитом был увеличен на 3%.

9. Клиент банка (№7) не погасил кредит вовремя, а 26 июня принес еще 100 акций и 300 облигаций в залог под новый заем. На какую величину кредита может рассчитывать клиент, если его величина составит 75% курсовой стоимости ценных бумаг, а курс каждой облигации равен 2000 руб.?

10. Покупатель приобрел в магазине костюм стоимостью 1700 руб., уплатив сразу 500 руб., а на остальную сумму получил потребительский кредит на 6 месяцев под 20% годовых, который должен погасить ежемесячными выплатами. Составить план погашения кредита.

11. Фермер приобрел трактор стоимостью 150 тыс. руб., уплатив сразу 10 тыс. руб. и получил на остальную сумму кредит на 3 года и 6 месяцев, который должен погасить выплатами по полугодиям. Составить план погашения кредита, если он был предоставлен под 10% годовых.

12. Покупатель приобрел в магазине телевизор стоимостью 8000 руб. На всю эту сумму он получил кредит сроком на два года, который должен погасить ежеквартальными выплатами. Составить план погашения кре-дита, если он предоставлен под 15% годовых.

13. Клиент имеет вексель на 150000 руб., срок погашения которого 1 июля. Он хочет учесть его 1 марта того же года в банке, простая учетная ставка которого 15%. Какую сумму получит владелец векселя? Какую сумму получит владелец векселя, если срок погашения векселя 1 июля следующего года ?

14. Какую прибыль получит банк в результате учета трех векселей по 20000 руб. 20 мая, если срок уплаты по первому векселю 10 сентября, по второму – 2 октября, по третьему – 17 ноября того же года, а учетная ставка банка равна 10% ?

15. Клиент учел 1 февраля вексель на сумму 400000 руб., срок погашения которого 1 июня этого же года, и получил за него 387900 руб. Какова учетная ставка банка ?

16. Должник по контракту обязан выплатить кредитору 5000 руб. через 2 года, 7000 руб. через 3 года и 8000 руб. через 5 лет, считая от настоящего момента. Должник предложил изменить контракт, обязавшись уплатить 6000 руб. через год, а еще 14000 руб. через 4 года. Должен ли кредитор соглашаться на эти условия, если на деньги начисляется 5% годовых? Какова должна быть выплата по второму обязательству (через 4 года), чтобы эти контракты были эквивалентны ?

17. Фирма 1 февраля получила в банке кредит на сумму 10 млн. руб., выдав в обеспечение кредита четыре векселя: один на 4 млн. руб. со сроком погашения 15 апреля, два по 2 млн. руб. со сроками погашения 30 мая и 4 июля, и еще один вексель со сроком погашения 1 сентября. Найти номинальную стоимость четвертого векселя, если все векселя выданы под простую процентную ставку 18% годовых.

18. Долговое обязательство в сумме 100000 руб., выданное 4 февраля по простой процентной ставке 20% годовых, должно быть погашено 15 августа. Владелец обязательства учел его в банке 10 июля по учетной ставке 25%. Найти сумму, полученную владельцем долгового обязательства при учете.

19. Покупатель приобрел в кредит набор мебели, обязавшись выплачивать за него по 1000 руб. каждый квартал в течение трех лет. Через один год, сделав четыре платежа, покупатель пожелал сразу погасить оставшийся долг. Какую сумму он должен заплатить, если на деньги начисляются 12% годовых?

20. Покупатель (№ 19) пожелал сразу изменить первоначальный контракт и выплачивать свой долг равными ежегодными выплатами. Какова должна быть каждая из этих выплат, чтобы новый контракт был эквивалентен первоначальному?