ББК У.в6

С 143

Рецензенты:

М.Ю. Кокурин - доктор физико-математических наук,

профессор МарГУ;

М.Л. Николаев - доктор физико-математических наук,

профессор МФ МОСУ

Садовин Н.С.

С 143 Основы финансовой математики: Учеб.пособие. – Изд. 2-е, перераб. и доп. - Йошкар-Ола: МарГУ, 2004. - 148 с.

ISBN 5-230-00569-6

В работе подробно представлены методы начисления простых, сложных и непрерывных процентов разовых выплат; изложен принцип финансовой эквивалентности; рассмотрены различные виды финансовых рент. Излагаемые методы финансовых вычислений иллюстрируются примерами с подробными решениями, предложено большое число задач для самостоятельной работы, в приложениях представлены таблицы наиболее часто встречающихся в расчетах коэффициентов.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по финансово-экономическим специальностям; а также для аспирантов, преподавателей и научных работников, использующих финансовые вычисления в практических расчетах.

ББК У.в6

© Марийский гос. ун-т, 2004

ISBN 5-230-00569-6 © Садовин Н.С., 2004

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Введение 4

Глава I. Простые проценты 5

§ 1. Сущность процентных платежей 5

§ 2. Вычисление наращенных сумм по простой процентной ставке 7

§ 3. Вычисление наращенных сумм на основе простых учетных ставок 10

§ 4. Расчет залоговых операций (ломбардный кредит) 11

§ 5. Потребительский кредит 12

§ 6. Дисконтирование по простым процентам 16

Глава II. Сложные проценты 21

§ 1. Вычисление наращенных сумм на основе сложной процентной ставки 21

§ 2. Вычисление наращенных сумм на основе сложных учетных ставок 28

§ 3. Дисконтирование по сложным процентам 29

§ 4. Сравнение множителей наращения и дисконтирования 31

§ 5. Расчет наращенных сумм с учетом налогов 32

§ 6. Расчет наращенных сумм с учетом инфляции 34

§ 7. Действия с непрерывными процентами 37

Глава III. Конверсия платежей. Эквивалентность процентных ставок 38

§ 1. Финансовая эквивалентность обязательств 38

§ 2. Консолидация платежей 40

§ 3. Общий случай изменения условий коммерческих сделок 44

§ 4. Эквивалентность процентных ставок 46

§ 5. Средние величины в финансовых расчетах 50

§ 6. Пример применения уравнения эквивалентности 55

Глава IV. Постоянные финансовые ренты 58

§ 1. Финансовые ренты. Основные понятия 58

§ 2. Наращенная сумма обычной ренты (постнумерандо) 60

§ 3. Современная величина (ценность) обычной ренты 69

§ 4. Определение параметров постоянных рент (постнумерандо) 75

§ 5. Определение параметров других видов постоянных рент 80

§ 6. Постоянная непрерывная рента 85

§ 7. Конверсии постоянных рент 88

Глава V. Переменные потоки платежей 96

§ 1. Потоки с разовыми изменениями платежей 96

§ 2. Ренты с постоянным абсолютным изменением платежей 97

§ 3. Ренты с постоянным относительным изменением платежей 99

§ 4. Переменные непрерывные потоки платежей 100

Задачи для самостоятельной работы 103

Приложения 114

Литература 147

В В Е Д Е Н И Е

Настоящее пособие содержит систематизированное изложение основных понятий и методов финансовых вычислений. Работа состоит из пяти глав.

В первой главе рассмотрены методы наращения и дисконтирования по простым процентам, а во второй – по сложным и непрерывным процентам. Третья глава посвящена вопросам конверсии платежей, принципу финансовой эквивалентности и эквивалентности процентных ставок. В четвертой главе рассматриваются методы расчетов параметров и характеристик постоянных финансовых рент. Переменные финансовые ренты изложены в пятой главе.

Работа содержит большое число примеров, иллюстрирующих рассматриваемые методы расчетов характеристик финансовых операций. Предлагается также большое число примеров для самостоятельного решения.

Пособие может быть использовано для самостоятельного изучения методов финансовых вычислений; при преподавании курсов «Финансовая математика», «Финансовые вычисления», первой части курса «Математические методы финансового анализа» для экономических специальностей вузов как в качестве учебника, так и в качестве задачника при проведении практических занятий. Можно предложить использовать это пособие и для факультативных занятий в общеобразовательных школах с экономическим уклоном.

В приложениях представлены некоторые таблицы коэффициентов, необходимых для решения предлагаемых задач.

Г Л А В А I

П Р О С Т Ы Е П Р О Ц Е Н Т Ы

§ 1. Сущность процентных платежей

Одной из самых распространенных финансовых операций является получение (выдача) кредита. В простейшей форме она предусматривает участие двух лиц - кредитора и дебитора - и однократное предоставление денежной ссуды. При этом дебитор обязан вернуть полученную ссуду через точно оговоренный срок и уплатить ее в соответствии с установленными в договоре условиями.

Эта кредитная операция с количественной стороны характеризуется следующими параметрами:

а) временные параметры: – дата выдачи ссуды; – срок или период ссуды; – дата погашения ссуды;

б) денежные величины: – величина выданной ссуды; – плата за ссуду или абсолютное приращение начального капитала ; – полная стоимость кредита или наращенная сумма.

Владелец капитала, предоставляя его на определенное время в долг, рассчитывает на получение от этой сделки некоторого дохода. Величина этого дохода зависит от трех факторов: 1) от величины капитала , предоставляемого в кредит; 2) от срока , на который предоставлен кредит; 3) от величины ссудного процента (процентной ставки).

Процентная ставка характеризует доходность кредитной операции и показывает, какая доля от суммы выданного кредита будет возвращена владельцу капитала в виде дохода.

Процентной ставкой называется относительная величина дохода за фиксированный промежуток времени, т.е. отношение дохода к сумме кредита за единицу времени:

В дальнейшем, для простоты, будем в основном использовать следующие обозначения: , , , , если условия договора ясны из контракта.

Тогда процентная ставка может быть вычислена как:

. (1)

. № 1. Фирма приобрела в банке вексель, по которому через 1 год должна получить 60 тыс. руб. (номинальная стоимость векселя). В момент приобретения цена векселя составила 40 тыс. руб. Определить доходность этой сделки.

Решение:

№ 2. Коммерческий банк приобрел ГКО на сумму 100 млн. руб. со сроком погашения через 4 месяца. По истечении указанного срока банк рассчитывает получить 120 млн. руб. Определить доходность ГКО.

Решение:

Из формулы (1) следует, что величину дохода можно определить по формулам:

. (2)

Процентная ставка i может измеряться не только в десятичных дробях и процентах, но и в натуральных дробях, как правило, с точностью до 1/32.

Величина I = называется процентным доходом или просто процентом.

Начисление процентов производится с помощью дискретных процентов, то есть в качестве периода начисления берется год, полугодие, квартал, месяц, день.

Существуют различные методы начисления процентов, зависящие от условий финансовых контрактов. Это:

1. Различия по определению исходной суммы, на которую начисляются проценты:

а) простые процентные ставки – проценты начисляются в течение всего срока кредита на одну и ту же величину капитала, предоставляемого в кредит;

б) сложные процентные ставки – в первом периоде начисление проводится на первоначальную сумму кредита, затем она суммируется с начисленными процентами ( I ) и в каждом последующем периоде проценты начисляются на уже наращенную сумму .

2. Установление процентной ставки в качестве фиксированной или переменной величины:

а) фиксированная процентная ставка не меняется в течение всего срока действия кредита;

б) переменная процентная ставка меняется в каждом периоде начисления и может зависеть, например, от условий контракта, от уровня инфляции, от ставки рефинансирования Центрального Банка и т.д.