§ 6. Пример применения уравнения эквивалентности

Рассмотрим ситуацию, когда банк выплачивает на вложенные в него деньги определенный процент через равные промежутки времени. Пусть делается несколько вкладов и несколько изъятий в различные моменты времени .

Тогда суммарная современная стоимость (в некоторый момент времени ) всех вкладов равна современной суммарной стоимости всех изъятий и остатка на счету после совершения всех указанных операций. То есть, если обозначить - современную стоимость суммы на момент времени , то получим уравнение эквивалентности:

(30)

Доказательство равенства (30) можно провести методом матема-тической индукции по двум переменным и . Мы же проверим это равенство на примерах, сделав предварительно одно замечание: если над некоторыми суммами денег и производятся финансовые операции (вложение, изъятие или фиксирование остатка) в один и тот же момент времени , то для любого момента времени справедливо равенство:

(31)

Действительно, учитывая, что получаем

Пусть в момент времени сделан вклад , а в момент времени со счета снята сумма , после чего на счету осталась сумма . На вложенные деньги начисляется % сложных за каждый период времени. Покажем, что в некоторый момент времени справедливо равенство:

Действительно,

где

Тогда

что и требовалось показать.

№ 53. Вкладчик положил 700 руб. в банк, выплачивающий 6% годо-вых поквартально. Через 6 месяцев он снял со счета 300 руб., а через 2 года после этого закрыл счет. Какую сумму получил вкладчик при закрытии счета.

Решение. Согласно формуле (30), на момент времени , получаем:

или

то есть

руб.

Рассмотрим более сложную ситуацию. Пусть в моменты времени и сделаны вклады и а в моменты времени и со счета сняты суммы и После чего на счету осталась сумма На вложенные деньги начисляются % сложных за каждый период времени. Покажем, что

где - современная стоимость суммы в момент времени

Действительно, если проиллюстрировать данную задачу на временной оси:

P₁ P₂

0 3 5 7 11 t

R₁

то легко увидеть, что в момент времени на счету будет сумма ; в момент времени - ; а в момент времени - сумма ; или

- Приведем обе части последнего равенства к сов-ременному моменту времени :

или, согласно (31), получаем:

что и требовалось показать.

№ 54. Вкладчик положил 2 года назад 600 руб. в банк, выплачивающий ежемесячно проценты, исходя из 5% годовых. 8 месяцев тому назад он снял со счета 400 руб., а сегодня снял еще 100 руб. Через 3 месяца он желает положить на свой счет некоторую сумму так, чтобы через 1 год от сегодняшнего момента закрыть счет, получив 500 руб. Какую сумму он должен положить в банк?

Решение. Согласно формуле (30), на момент времени t = 3 месяца, имеем:

где

Следовательно,

где Тогда, решив последнее уравнение, получаем

Г Л А В А IV

П О С Т О Я Н Н Ы Е Ф И Н А Н С О В Ы Е Р Е Н Т Ы