§ 2. Наращенная сумма обычной ренты (постнумерандо)

1. Рента с начислением процентов в конце года

2.1.1. Годовая рента

Пусть в течение лет в банк в конце каждого года вносится по руб. На взносы начисляются сложные проценты по ставке % годовых. Изобразим эту ренту на оси времени:

R R R R члены ренты

0 1 2 n -1 n число платежей.

Вычислим наращенную к моменту сумму этой ренты.

На первый платеж проценты начисляются раз (лет), на второй - раза, и так далее, на предпоследний платеж - 1 раз, а последний платеж входит в наращенную сумму без изменений.

Тогда наращенная сумма всей ренты в момент времени равна:

Или, по формуле суммы первых n членов геометрической прогрессии, получаем:

(1)

(1)

где

коэффициент наращения годовой ренты (Приложение № 4).

Из формулы (1) легко можно вычислить и величину разового платежа R по наращенной сумме :

(2)

№ 55. Предприятие образовало фонд развития, в который каждый год отчисляет по 1 млн. руб., вкладывая их в банк, который начисляет на вложенные деньги 20% годовых (сложных). Какая сумма будет в фонде через 6 лет ?

Решение. Так как то

руб.

2. p - срочная рента

Пусть рента выплачивается раз в год по руб. Тогда общее число членов ренты равно , и ряд членов ренты представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем . Найдем сумму первых членов этой прогрессии:

(3)

где

(4)

коэффициент наращения p - срочной ренты.

№ 56. Пусть в условиях № 55 платежи производятся 2 раза в год по 500 тыс. руб. Найти наращенную сумму.

Решение. Так как то

руб.

3. Рента с периодом более года

Пусть рента выплачивается каждые лет по руб., а сложные проценты начисляются по ставке % ежегодно. Всего за лет будет сделано платежей и ряд членов ренты представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем . Тогда сумма первых членов этой прогрессии будет равна:

(5)

или, разделив числитель и знаменатель последней дроби на , можем получить:

(5)

№ 57. Пусть в условиях № 55 платежи производятся раз в два года по 2 млн. руб. Найти наращенную сумму.

Решение. Так как получаем:

руб.

2. . Ренты с начислением процентов раз в год

1. Годовая рента

В этом случае платеж производится один раз в год, а проценты начисляются раз в год по ставке %. Тогда получим геометрическую прогрессию с первым членом , знаменателем и числом членов, равным . Следовательно, наращенную сумму можно вычислить по формуле:

(6)

Разделив числитель и знаменатель последней дроби на , получим:

( )

№ 58. Пусть в условиях № 55 проценты начисляются раз в квартал. Найти наращенную за 6 лет сумму.

Решение. Так как то

руб.

2. р - срочная рента

В этом случае рента выплачивается раз в год по руб., а проценты начисляются раз в год по %. Тогда члены ренты образуют геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем . Сумма первых членов этой прогрессии вычисляется по формуле:

(7)

или, разделив числитель и знаменатель последней дроби на , получаем:

( )

№ 59. Пусть в условиях № 56 проценты начисляются каждый квартал. Найти наращенную сумму.

Решение. Так как то

руб.

3. Частный случай р - срочной ренты при p = m

Пусть число периодов начисления процентов в течение года равно числу рентных платежей в течение года. Тогда формула (7) примет вид:

(8)

так как

№ 60. Пусть в условиях № 59 платежи производятся четыре раза в год по 250 тыс. руб. Найти наращенную сумму.

Решение:

руб.