2. Ренты с начислением процентов m раз в год

1. Годовая рента

Платежи в сумме производятся один раз в год, а проценты начисляются раз в год по ставке %. Тогда из (6) получаем:

или, разделив числитель и знаменатель на , получим:

(17)

2. p - срочная рента

Платежи производятся раз в год по руб., а проценты начисляются раз в год по %. Тогда из формулы (7) получаем:

(18)

3. Рента с периодом больше года

Платежи производятся каждые лет по руб., а проценты начисляются раз в год. Тогда из формулы (9) получаем

. (19)

№ 66. Решить задачу № 65 при условии, что банк начисляет проценты ежеквартально.

Решение. Так как , , то :

а) руб.;

б) руб.;

в) руб.

3. Ренты с непрерывным начислением процентов

Пусть на вложенные деньги начисляются непрерывные проценты по ставке (сила роста). Тогда из (10) следует, что современная стоимость годовой ренты равна

. (20)

Из (11) получим современную стоимость -срочной ренты

. (21)

А из (12) получим современную стоимость ренты с периодом более года:

. (22)

№ 67. Решить задачу № 65 при условии начисления непрерывных процентов ( ).

Решение.

а) руб.;

б) руб.;

в) руб.

4. Вечная рента

Вечной рентой называется финансовая рента с бесконечным числом членов ренты. Очевидно, что наращенная сумма вечной ренты является бесконечно большой и говорить о наращенной сумме нет смысла. Однако современную стоимость вечной ренты, то есть суммы, которую надо вложить в начальный момент времени под сложные проценты, чтобы в дальнейшем каждый год (или в иной период) можно было получать с этого вклада сумму , можно вычислить по формуле

. (23)

Например, современная стоимость бесконечной годовой ренты с начислением процентов один раз в год равна:

; (24)

с начислением процентов раз в год по равна:

. (25)

А современная стоимость -срочной бесконечной ренты с начис-лением процентов один раз в год равна:

; (26)

с начислением процентов раз в год по равна:

. (27)

№ 68. Г-н Петров желает положить в банк, выплачивающий 20% годовых, такую сумму, чтобы его сын мог снимать с этого счета: а) ежегодно по 10000 руб.; б) по 2500 руб. каждый квартал. Какую сумму должен положить в банк г-н Петров.

Решение:

а) по формуле (24) получаем: руб.;

б) по формуле (26) получаем:

руб.

1. Сравнение современных стоимостей обычной ренты

Как следует из приведенных примеров, величина современной стоимости заметно зависит от условий начисления процентов и частоты рентных платежей (при прочих равных условиях). Если обозначить через современную стоимость финансовой ренты, где – число начислений процентов, – количество рентных платежей в году ( – непрерывное начисление процентов), то можно составить следующие неравенства:

;

;

,

которые можно использовать для получения более выгодных условий при заключении финансовых сделок.