28.3. Морфизмы групп.
Пусть G1 – группа с бинарной операцией , G2 – группа с бинарной операцией .
Определения.
1. Отображение : G1 G2 называется морфизмом (или гомоморфизмом) групп, если a, b G1 (ab) = a b.
2. Если - морфизм и биекция, то называется изоморфизмом.
3. Если - морфизм и инъекция, то называется мономорфизмом.
4. Если - морфизм и сюръекция, то называется эпиморфизмом.
5. Если морфизм : G1 G1, то называется эндоморфизмом.
6. Если : G1 G1 - изоморфизм, то называется автоморфизмом.
Упражнения.
1. Пусть : G1 G2 , : G2 G3 - морфизмы групп.
Доказать, что : G1 G3 - морфизм групп.
2. Пусть AutG – множество автоморфизмов группы G. Дока-
зать, что AutG – группа.
Пусть : G1 G2 - морфизм групп, 1 – нейтрал в G1, 2 – нейтрал в G2 .
Утверждение 1. 1 = 2 , (g -1) = (g) -1 g G1.
Доказательство. Пусть 1 = с. Тогда (11) = 11 = =1 сс = с с -1сс = с -1с 2с = 2 с = 2 . Далее (gg -1) =(g)(g -1) = 1 = 2 (g -1) = (g) -1.
Определение. Ядром морфизма : G1 G2 называется Ker = -12 = {g G1| g = 2}.
Утверждение 2. Ker - нормальная подгруппа в G1.
Доказательство. Пусть a, b Ker. Тогда a = b = 2
(ab) = ab = 22= 2 ab Ker. Также (а -1)= (а) -1 =
= 2-1 = 2 a -1 Ker. И наконец, 1 = 2 1 Ker.
Следовательно, Ker - подгруппа в G1.
Пусть теперь gG1, aKer. Тогда (g -1аg)= (g)-1аg= = (g)-12g = 2 g -1аg Ker.
Следовательно, Ker - нормальная подгруппа в G1.
Утверждение 3. - инъекция Ker = {1}.
Доказательство. . Пусть - инъекция, и а Ker
а = 1= 2 а = 1 Ker = {1}.
. Пусть Ker = {1}, и а = b. Тогда (аb-1) =а(b)-1= = 2 аb-1 Ker аb-1= 1 a = b - инъекция.
Лекция 40.
28.4. Теорема о разложении морфизма.
Пусть Н - нормальная подгруппа в группе G, G / Н –
факторгруппа. Рассмотрим отображение : G G / Н та-
кое, что g G (g) = .
Утверждение. - эпиморфизм групп, причем Ker = H.
Доказательство.
Так как
a,
b
G
(ab)
=
=
=
= (a)(b), то - морфизм групп. И конечно же, - сюръекция, то есть - эпиморфизм. Этот эпиморфизм называется каноническим и обозначается сап. Очевидно, g Ker = g gН. Следовательно, Ker = Ker сап =H.
Следствие. Мы видели, что ядро любого морфизма – нормальная подгруппа. Теперь мы увидели, что любая нормальная подгруппа является ядром некоторого морфизма, например, канонического. Таким образом, нормальные подгруппы – это в точности те подгруппы, которые являются ядрами некоторых морфизмов.
Пусть теперь : G1 G2 - морфизм групп, Н = Ker, G1/ Н – факторгруппа, сап: G1 G1 / Н – канонический эпиморфизм.
Определим
отображение
:
G1
/ Н
G2
следующим
образом: пусть по
определению
(
)
= g
G1
/ Н.
Наше определение корректно, так как
=
gH,
и (gH)=
=g(H)
= g2
= g.
Кроме того,
,
G1
/ Н
(
)
=
(
)
= (ab)
=ab
=
(
)
(
),
то есть
- морфизм групп. Если
Ker
,
то
(
)
= g
= 2
g
Ker
= H
=
Ker
= {
}
- инъекция (см. п.28.3,
утверждение 3). Следовательно,
- мономорфизм групп. И наконец, если мы
будем рассматривать
не как отображение G1/
Н в G2,
а как отображение G1/
Н в Im
= (G1),
то
будет ещё и сюръекцией, то есть и биекцией.
Таким образом,
:
G1
/ Н
Im
- изоморфизм
групп. Так как Im
G2,
то обозначим
через i
тождественное вложение i
: Im
G2,
i(g)
= g
g
Im
. Очевидно,
i
– морфизм
и инъекция, то есть мономорфизм. Кроме
того,
g G1 (i can)(g) = i( (can(g)))= i( ( )) = i(g)= g i can = . Таким образом, нами доказана
Теорема о разложении морфизма. Если : G1 G2 - морфизм групп, то коммутативна следующая диаграмма:
,
то есть i
can
=
,
причем сап – эпиморфизм, - изоморфизм, i - мономорфизм групп.
Следствие. Для того, чтобы найти факторгруппу G / H группы G по нормальной подгруппе Н достаточно найти морфизм группы G такой, что Ker = H. И тогда
G / H Im .
Пример. Пусть G = С* - (коммутативная) группа ненуле-
вых комплексных чисел по умножению, Н=Un= {z C| zn= 1} – множество корней п-й степени из 1.
Пример. Доказать, что Un - подгруппа в С* (и следовательно, нормальная подгруппа).
Найдем G / H = С*/ Un . Для этого рассмотрим отображение : С* С* такое, что z C* z = zn. Очевидно,
1. - морфизм (эндоморфизм группы C*), так как (z1z2)= = (z1z2)n = z1nz2n = z1 z2 .
2. Ker = H = Un. Отсюда, в частности, следует Упражнение.
3. Im = C*, так как и C* z C* такой, что и = zn= z. Следовательно, С*/ Un С*.