28.5. Циклические группы.

Пусть G – группа, g  G. Будем считать по определению, что для n Z g ⁿ = при n  N, g ⁿ = , при n = 0, g ⁿ = (g ^-n) ^-1 при -nN.

Упражнение. Доказать, что g ⁿg ^m = g ^n+m, (g ⁿ)^-1= g ^-n  n,

m  Z.

Определение. Циклической подгруппой элемента g называется ³⁾наименьшая ¹⁾подгруппа в G, ²⁾содержащая эле-

мент g.

Обозначать циклическую подгруппу элемента g мы будем <g>. Элемент g называется образующим элементом циклической группы <g>.

Пусть В = {g ⁿ | п  Z}.

Утверждение. В = <g>.

Доказательство.

0. Рассмотрим некоторую подгруппу А  G такую, что g A. Очевидно, gg = g ²  A, g g ² = g ³ A,…, g ^п A п  N и п  Z.

1. Пусть g ^s, g ^t В  g ^sg ^t = g ^s+tВ, (g ^s)^-1= g ^-sВ,  = g ⁰ В  В – подгруппа в G.

2. g = g ¹ В.

3. Если подгруппа А g , то А  В (из п.0)  В – наименьшая подгруппа, содержащая элемент g  В = <g>.

Рассмотрим циклическую группу <g> = {g ⁿ | п  Z }.

Возможны два случая:

1. Все элементы g ⁿ - различны. Тогда |<g>| = , <g> - бесконечная циклическая группа.

2. Существуют m  n такие, что g ^т = g ⁿ. Можно считать, что т > n. Тогда g ^т-п = , т – п  N. Пусть d – наименьшее натуральное число такое, что g ^d = . Тогда d называется порядком элемента g: пор.g = d (в случае 1 пор.g =). Пусть пор.g = d < . В этом случае, если п  Z, то, разделив п на d с остатком, получим: п = dq + r, 0  r < d, и

g ⁿ = g ^dq+r = (g ^d)^qg ^r = g ^r = g ^r  <g> = {g ^r | r = 0,1,…,d-1}  |<g>| = d - порядок циклической группы равен порядку образующего элемента этой группы.

Следствие. g ⁿ =   d | n .

Упражнения.

1. Доказать, что Z – бесконечная циклическая (аддитивная)

группа. Найти все возможные образующие элементы этой группы.

2. Доказать, что Z_т – конечная циклическая (аддитивная) группа. Найти все возможные образующие элементы этой группы.

3. Найти все подгруппы группы Z .

4. Доказать, что подгруппа циклической группы – цикличе­ская группа.

Пусть g  G. Рассмотрим отображение  : Z  G такое, что (п) = g ⁿ  п  Z. Очевидно,  - морфизм групп, так как (т+п) = g ^т+п = g ^т g ^п =  т   п . Кроме того,

Im  = <g>, Ker  = {n  Z | g ^п =  }. Если Ker  = { 0 }, то по Теореме о разложении морфизма Im  = <g>  Z / Ker = = Z / { 0 }  Z , то есть < g > - бесконечная циклическая группа. Если же Ker   { 0 }, то Ker  = dZ, Im  = <g>   Z / Ker = Z / dZ  Z_d , то есть < g > - конечная циклическая группа. Следовательно, любая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе Z, любая конечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе Z_d .

Литература, использованная при подготовке Курса лекций:

1. Попов А.М. Лекции по линейной алгебре, ч.1.- М.: Изд-во РУДН, 2006

2. Булгаков Д.Н., Попов А.М. Введение в теорию линейных операторов.- М.: Изд-во РУДН, 2003

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3